Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 25 trong chương trình Toán 11 tập 2, Kết nối tri thức, tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất của hình học không gian: quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng. Việc hiểu rõ về hai mặt phẳng vuông góc là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

1. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90°. Để xác định hai mặt phẳng vuông góc, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

Phương pháp 1: Sử dụng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia, thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Phương pháp 2: Sử dụng góc giữa hai mặt phẳng: Tính góc giữa hai mặt phẳng. Nếu góc này bằng 90°, thì hai mặt phẳng vuông góc.
Phương pháp 3: Sử dụng vector pháp tuyến: Nếu hai vector pháp tuyến của hai mặt phẳng vuông góc với nhau, thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

2. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Khi hai mặt phẳng vuông góc, ta có những tính chất sau:

Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng, thì nó vuông góc với mặt phẳng kia.
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia, thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

3. Ứng dụng của quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng

Quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các bài toán hình học không gian. Ví dụ:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.
Chứng minh tính vuông góc của các yếu tố hình học.
Giải các bài toán về khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Lời giải:

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Giao tuyến này là đường thẳng SO, với O là giao điểm của AC và BD.
Tìm các đường thẳng vuông góc với giao tuyến SO trong mỗi mặt phẳng. Trong mặt phẳng (SAD), ta có đường thẳng AO vuông góc với SO. Trong mặt phẳng (SBC), ta có đường thẳng BO vuông góc với SO.
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng góc AOB. Vì ABCD là hình vuông, nên góc AOB = 90°. Vậy, hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) vuông góc với nhau.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập trong SGK Toán 11 tập 2, Kết nối tri thức là một nguồn tài liệu hữu ích. Ngoài ra, các em có thể tìm kiếm thêm các bài tập trên internet hoặc trong các sách tham khảo.

6. Tổng kết

Bài 25 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc, bao gồm điều kiện, tính chất và ứng dụng. Việc hiểu rõ những kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!