Chương 5 Giới hạn.Hàm số liên tục

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục - Toán 11 Kết nối tri thức

Chương 5 trong sách Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào hai khái niệm nền tảng của giải tích: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Đây là những khái niệm then chốt để hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số và là cơ sở cho việc học các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân.

1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Khái niệm giới hạn hàm số tại một điểm là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong giải tích. Nó mô tả giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số độc lập tiến tới một giá trị cụ thể. Để hiểu rõ hơn, ta xét hàm số f(x) và điểm x₀. Giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀, ký hiệu là lim_x→x0 f(x), là giá trị L sao cho với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - x₀| < δ thì |f(x) - L| < ε.

2. Giới hạn của hàm số tại vô cực

Ngoài giới hạn tại một điểm, ta còn xét giới hạn của hàm số tại vô cực. Điều này cho phép ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số khi biến số độc lập tiến tới vô cùng dương hoặc vô cùng âm. Ví dụ, lim_x→+∞ f(x) là giá trị mà f(x) tiến tới khi x trở nên rất lớn.

3. Các định lý về giới hạn

Có một số định lý quan trọng về giới hạn giúp ta tính toán giới hạn một cách dễ dàng hơn. Ví dụ:

• Định lý về giới hạn của tổng: lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
• Định lý về giới hạn của tích: lim (f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x)
• Định lý về giới hạn của thương: lim (f(x) / g(x)) = (lim f(x)) / (lim g(x)) (với lim g(x) ≠ 0)

4. Hàm số liên tục tại một điểm

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

1. Hàm số f(x) xác định tại x₀.
2. Hàm số có giới hạn tại x₀.
3. Giới hạn của hàm số tại x₀ bằng giá trị của hàm số tại x₀, tức là lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

5. Hàm số liên tục trên một khoảng

Một hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó. Hàm số liên tục có tính chất quan trọng là nó không có "lỗ hổng" hoặc "đứt gãy" trên đồ thị của nó.

6. Ứng dụng của giới hạn và tính liên tục

Khái niệm giới hạn và tính liên tục có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác. Ví dụ, chúng được sử dụng để định nghĩa đạo hàm, tích phân, và để giải các bài toán về tối ưu hóa và mô hình hóa.

7. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính lim_x→2 (x² + 3x - 1)

Giải: Áp dụng định lý về giới hạn của tổng và tích, ta có:

lim_x→2 (x² + 3x - 1) = lim_x→2 x² + lim_x→2 3x - lim_x→2 1 = 2² + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9

Bài tập 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x² tại x = 1

Giải:

• f(1) = 1² = 1
• lim_x→1 f(x) = lim_x→1 x² = 1² = 1

Vì lim_x→1 f(x) = f(1), nên hàm số f(x) = x² liên tục tại x = 1.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập minh họa trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục trong Toán 11 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán liên quan.