Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 2 trang 120, 121 SGK Toán 11 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập Toán 11.
Bài tập trong mục này tập trung vào các kiến thức về phép biến hình, đặc biệt là phép tịnh tiến và phép quay.
Cho hai hàm số (fleft( x right) = left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2x;,;0 le x le frac{1}{2}}{1;,frac{1}{2} < x le 1}end{array}} right.) và (gleft( x right) = left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x;,0 le x le frac{1}{2}}{1;,frac{1}{2} < x le 1}end{array}} right.)
Video hướng dẫn giải
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x\;,\;0 \le x \le \frac{1}{2}}\\{1\;,\frac{1}{2} < x \le 1}\end{array}} \right.\) và \(g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\;,0 \le x \le \frac{1}{2}}\\{1\;,\frac{1}{2} < x \le 1}\end{array}} \right.\)với đồ thị tương ứng như Hình 5.7
Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm \(x = \frac{1}{2}\)và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.
Phương pháp giải:
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a,b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} 2x = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} 1 = 1\)
\(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\)
Vậy \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} x = \frac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} 1 = 1\)
\(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\)
Vậy \(g\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x = \frac{1}{2}\)
Đồ thị \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right],\) đồ thị \(g\left( x \right)\) bị gián đoạn tại \(x = \frac{1}{2}\)
Video hướng dẫn giải
Tìm các khoảng trên đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}\) liên tục.
Phương pháp giải:
Hàm phân thức liên tục trên tập xác định.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của \(f\left( x \right)\) là \(\left( { - \infty ;\; - 2} \right) \cup \left( { - 2;\; + \infty } \right)\)
Vây hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right);\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Mục 2 của SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình, đặc biệt là phép tịnh tiến và phép quay. Các bài tập trong mục này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, tọa độ để xác định ảnh của điểm, đường thẳng, hình khi thực hiện các phép biến hình này. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tập các chương trình Toán học nâng cao hơn.
Bài tập 1 yêu cầu học sinh xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng khi thực hiện phép tịnh tiến. Để giải bài tập này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa của phép tịnh tiến, công thức tính tọa độ ảnh của điểm sau phép tịnh tiến. Ví dụ, cho điểm A(x0, y0) và vectơ t = (a, b), ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ t là điểm A'(x0 + a, y0 + b).
Bài tập 2 tập trung vào phép quay. Học sinh cần xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng khi thực hiện phép quay quanh một điểm cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững công thức tính tọa độ ảnh của điểm sau phép quay. Công thức này phụ thuộc vào góc quay và tâm quay.
Bài tập 3 yêu cầu học sinh vận dụng kết hợp cả phép tịnh tiến và phép quay để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Đây là cơ hội để học sinh rèn luyện khả năng tư duy logic và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt.
Để giúp các em học sinh giải bài tập một cách hiệu quả, giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 2 trang 120, 121 SGK Toán 11 tập 1. Lời giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các hình vẽ minh họa để giúp các em hình dung rõ hơn về bài toán.
Ví dụ 1: Cho điểm A(1, 2) và vectơ t = (3, -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ t.
Giải:
Áp dụng công thức tính tọa độ ảnh của điểm sau phép tịnh tiến, ta có:
A'(1 + 3, 2 - 1) = A'(4, 1)
Ví dụ 2: Cho điểm B(2, -3) và tâm quay O(0, 0), góc quay 90o. Tìm tọa độ điểm B' là ảnh của B qua phép quay quanh O góc 90o.
Giải:
Áp dụng công thức tính tọa độ ảnh của điểm sau phép quay, ta có:
B'(-3, 2)
Ngoài SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nâng cao kiến thức:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trong mục 2 trang 120, 121 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán. Chúc các em học tốt!
