Chương 2 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 2 trong sách Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào việc nghiên cứu về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Đây là những khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

I. Dãy số

1. Định nghĩa dãy số: Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Mỗi số hạng của dãy số được gọi là một phần tử của dãy.

2. Các loại dãy số:

• Dãy số hữu hạn: Dãy số có số lượng phần tử hữu hạn.
• Dãy số vô hạn: Dãy số có số lượng phần tử vô hạn.
• Dãy số tăng: Dãy số mà mỗi phần tử sau lớn hơn phần tử trước.
• Dãy số giảm: Dãy số mà mỗi phần tử sau nhỏ hơn phần tử trước.

II. Cấp số cộng

1. Định nghĩa cấp số cộng: Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi phần tử sau hơn phần tử trước một lượng không đổi, gọi là công sai (d).

2. Công thức tổng quát của cấp số cộng: u_n = u₁ + (n-1)d, trong đó:

• u_n: Số hạng thứ n của cấp số cộng.
• u₁: Số hạng đầu của cấp số cộng.
• n: Vị trí của số hạng trong dãy.
• d: Công sai của cấp số cộng.

3. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

III. Cấp số nhân

1. Định nghĩa cấp số nhân: Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi phần tử sau bằng tích của phần tử trước với một lượng không đổi, gọi là công bội (q).

2. Công thức tổng quát của cấp số nhân: u_n = u₁ * q^(n-1), trong đó:

• u_n: Số hạng thứ n của cấp số nhân.
• u₁: Số hạng đầu của cấp số nhân.
• n: Vị trí của số hạng trong dãy.
• q: Công bội của cấp số nhân.

3. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:

• Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)
• Nếu q = 1: S_n = n * u₁

IV. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có u₁ = 2 và d = 3. Tìm u₅ và S₅.

Giải:

• u₅ = u₁ + (5-1)d = 2 + 4*3 = 14
• S₅ = 5/2 * (u₁ + u₅) = 5/2 * (2 + 14) = 40

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2. Tìm u₆ và S₆.

Giải:

• u₆ = u₁ * q^(6-1) = 1 * 2⁵ = 32
• S₆ = u₁ * (1 - q⁶) / (1 - q) = 1 * (1 - 2⁶) / (1 - 2) = 63

V. Ứng dụng của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Các khái niệm về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

• Tính lãi kép trong ngân hàng.
• Tính sự tăng trưởng dân số.
• Tính sự phân rã của các chất phóng xạ.
• Giải các bài toán về hình học.

Hy vọng với những kiến thức và bài giải chi tiết trên, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức về Chương 2 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức tập 1. Chúc các em học tập tốt!