Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Dãy số của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức tại giaibaitoan.com.
Ở đây, bạn sẽ được cung cấp kiến thức nền tảng vững chắc về dãy số, bao gồm định nghĩa, các loại dãy số phổ biến như cấp số cộng, cấp số nhân, và các khái niệm quan trọng như giới hạn dãy số.
1. Định nghĩa dãy số
1. Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu là \(u = u\left( n \right)\).
Ta thường viết \({u_n}\) thay cho \(u\left( n \right)\) và kí hiệu dãy số \(u = u\left( n \right)\)bởi \(u\left( n \right)\), do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\)
Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\)là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
*Chú ý: Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},{u_n} = c\)thì \(\left( {{u_n}} \right)\)được gọi là dãy số không đổi.
Mỗi hàm số u xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\).
Số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\)là số hạng cuối.
2. Cách cho một dãy số
Một dãy số có thể cho bằng:
3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở cấp THPT. Việc nắm vững lý thuyết dãy số không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng cho việc học các kiến thức nâng cao hơn trong các môn học khác như Giải tích.
Một dãy số là một hàm số u được xác định trên tập hợp các số tự nhiên ℕ (hoặc một tập con của ℕ) và nhận giá trị trong tập số thực ℝ. Ký hiệu: u: ℕ → ℝ. Mỗi phần tử của dãy số được gọi là một số hạng của dãy số, ký hiệu là un, với n ∈ ℕ.
Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (công sai d) vào số hạng đứng trước nó. Công thức tổng quát: un = u1 + (n - 1)d.
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: Sn = (n/2)(u1 + un) hoặc Sn = (n/2)[2u1 + (n - 1)d].
Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi (tỉ số q). Công thức tổng quát: un = u1 * q(n - 1).
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
Giới hạn của một dãy số là giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi n tiến tới vô cùng. Ký hiệu: lim un = L.
Để xét giới hạn của dãy số, ta thường sử dụng các định lý về giới hạn của dãy số, chẳng hạn như:
Bài 1: Cho cấp số cộng có u1 = 2 và d = 3. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng.
Giải:u10 = u1 + (10 - 1)d = 2 + 9 * 3 = 29.
Bài 2: Cho cấp số nhân có u1 = 1 và q = 2. Tính tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Giải:S5 = u1(1 - q5) / (1 - q) = 1(1 - 25) / (1 - 2) = (1 - 32) / (-1) = 31.
Lý thuyết dãy số là một phần quan trọng của chương trình Toán 11. Việc hiểu rõ các khái niệm, công thức và phương pháp giải bài tập về dãy số sẽ giúp học sinh đạt kết quả tốt trong các kỳ thi và có nền tảng vững chắc cho việc học các môn học khác.
