Bài 16. Giới hạn của hàm số

Bài 16. Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Bài 16 trong chương trình Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào khái niệm giới hạn của hàm số, một trong những nền tảng quan trọng của giải tích. Hiểu rõ về giới hạn hàm số là bước đệm cần thiết để học tập các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm, tích phân.

1. Khái niệm giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Khái niệm này được định nghĩa một cách chặt chẽ bằng định nghĩa epsilon-delta, tuy nhiên, trong giai đoạn học phổ thông, chúng ta thường tiếp cận giới hạn thông qua các ví dụ và tính chất trực quan.

2. Các dạng giới hạn thường gặp

• Giới hạn tại một điểm: Tìm lim_x→a f(x) khi a là một số thực cụ thể.
• Giới hạn vô cùng: Tìm lim_x→∞ f(x) hoặc lim_x→-∞ f(x) khi x tiến tới vô cùng dương hoặc vô cùng âm.
• Giới hạn một bên: Tìm lim_x→a⁺ f(x) (giới hạn bên phải) và lim_x→a^- f(x) (giới hạn bên trái).

3. Tính chất của giới hạn

Việc nắm vững các tính chất của giới hạn giúp chúng ta đơn giản hóa việc tính toán giới hạn. Một số tính chất quan trọng bao gồm:

• lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
• lim_x→a [f(x) - g(x)] = lim_x→a f(x) - lim_x→a g(x)
• lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
• lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)

4. Các phương pháp tính giới hạn

Có nhiều phương pháp để tính giới hạn, tùy thuộc vào dạng của hàm số. Một số phương pháp phổ biến:

• Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị x = a vào hàm số (nếu hàm số liên tục tại a).
• Phương pháp phân tích thành nhân tử: Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để rút gọn biểu thức.
• Phương pháp nhân liên hợp: Nhân tử số và mẫu số với liên hợp của biểu thức chứa căn thức.
• Phương pháp sử dụng giới hạn đặc biệt: Áp dụng các giới hạn đặc biệt như lim_x→0 sin(x)/x = 1, lim_x→0 (1 - cos(x))/x = 0.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4.

Ví dụ 2: Tính lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 3)

Giải: Chia cả tử và mẫu cho x, ta được lim_x→∞ (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2.

6. Ứng dụng của giới hạn trong thực tế

Khái niệm giới hạn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời của một vật tại một thời điểm được tính bằng giới hạn của vận tốc trung bình khi khoảng thời gian tiến tới 0.
• Tính diện tích dưới đường cong: Diện tích dưới đường cong của một hàm số được tính bằng giới hạn của tổng diện tích các hình chữ nhật nhỏ khi số lượng hình chữ nhật tiến tới vô cùng.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 16. Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!