Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ và chi tiết về lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản, giúp bạn dễ dàng tiếp thu và áp dụng kiến thức vào thực tế.
1. Khái niệm phương trình tương đương
1. Khái niệm phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết \(f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0\)
*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.
2. Phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m\)
Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).
Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha = m\). Khi đó:
\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\sin x = \sin {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = {180^o} - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b,Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
3. Phương trình \({\rm{cosx}} = m\)
Phương trình \({\rm{cosx}} = m\)có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).
Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:
\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\cos x = \cos {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b, Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}{\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
4. Phương trình \(\tan x = m\)
Phương trình \(\tan x = m\)có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:
\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\tan x = \tan {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
5. Phương trình \(\cot x = m\)
Phương trình \(\cot x = m\)có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\) thoả mãn \(\cot \alpha = m\). Khi đó:
\(\cot {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\cot x = \cot {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó
Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).
Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)3 (CASIO FX 570VN).
Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)4 (CASIO FX 570VN).
Bước 2. Tìm số đo góc.
Khi biết SIN, COS, TANG của góc \(\alpha \)ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc \(\alpha \)
Phương trình lượng giác là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lượng giác. Giải phương trình lượng giác là tìm các giá trị của ẩn số thỏa mãn phương trình đó. Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, chúng ta sẽ tập trung vào các phương trình lượng giác cơ bản, bao gồm:
Phương trình sin(x) = a có nghiệm khi và chỉ khi -1 ≤ a ≤ 1. Khi đó:
Phương trình cos(x) = a có nghiệm khi và chỉ khi -1 ≤ a ≤ 1. Khi đó:
Phương trình tan(x) = a có nghiệm với mọi a ∈ R. Khi đó:
x = arctan(a) + kπ, k ∈ Z
Phương trình cot(x) = a có nghiệm với mọi a ∈ R. Khi đó:
x = arccot(a) + kπ, k ∈ Z
Trong quá trình giải phương trình lượng giác, chúng ta thường sử dụng các công thức lượng giác sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2
Ta có: x = arcsin(1/2) + k2π = π/6 + k2π hoặc x = π - arcsin(1/2) + k2π = 5π/6 + k2π, k ∈ Z
Ví dụ 2: Giải phương trình cos(x) = -√2/2
Ta có: x = arccos(-√2/2) + k2π = 3π/4 + k2π hoặc x = -arccos(-√2/2) + k2π = -3π/4 + k2π, k ∈ Z
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
