Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Đường thẳng và Mặt phẳng trong không gian, một phần quan trọng của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và nâng cao về các khái niệm, tính chất và ứng dụng của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều.
Chúng tôi sẽ giúp bạn nắm vững lý thuyết, giải quyết các bài tập thực hành và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi sắp tới.
1. Khái niệm mở đầu
1. Khái niệm mở đầu
Hình ảnh về mặt phẳng
- Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng 1 hình bình hành như hình vẽ:
- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ).
VD: Mặt phẳng (P), mặt phẳng (\(\alpha \)).
- Điểm A thuộc mặt phẳng (P), ta kí hiệu \(A \in (P)\), điểm B không thuộc mặt phẳng (P) ta kí hiệu \(B \notin (P)\).Nếu \(A \in (P)\)ta còn nói A nằm trên (P) hoặc (P) chứa A hoặc (P) đi qua A.
*Quy tắc biểu diễn hình:
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là 2 đường thẳng song song, của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.
2. Các tính chất thừa nhận
- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.
- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu có một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
- Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu \(d \subset (P)\) hoặc .
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến, kí hiệu .
- Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hìn\(d = (P) \cap (Q)\)h học phẳng đều đúng.
3. Xác định một mặt phẳng
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết nó đi qua 3 điểm không thẳng hàng.
Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa 1 đường thẳng không đi qua điểm đó.
Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
4. Hình chóp và hình tứ diện
Cho đa giác lồi \({A_1}{A_2}...{A_n}\) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_n}\)để được n tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\). Hình gồm n tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\)và đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\)được gọi là hình chóp và kí hiệu là \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\).
Trong hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\)điểm S được gọi là đỉnh và đa giác\({A_1}{A_2}...{A_n}\) được gọi là mặt đáy, các tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\)được gọi là các mặt bên; các cạnh \(S{A_1},S{A_2},...,S{A_n}\)được gọi là cạnh bên; các cạnh\({A_1}{A_2},{A_2}{A_3}...,{A_n}{A_1}\) được gọi là các cạnh đáy.
VD: Hình chóp tứ giác S.ABCD
Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là ABCD.
Trong đó, các điểm A, B, C, D được gọi các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, BD,AC được gọi là cạnh của tứ diện; các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD gọi là mặt của tứ diện.
Hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Chương trình Toán 11 Kết nối tri thức đi sâu vào hình học không gian, và một trong những chủ đề quan trọng nhất là lý thuyết về đường thẳng và mặt phẳng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học và các kỳ thi.
1. Đường thẳng trong không gian:
2. Mặt phẳng trong không gian:
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Tức là, aA + bB + cC = 0.
2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Tức là, a = kA, b = kB, c = kC với k là một số thực khác 0.
3. Đường thẳng cắt mặt phẳng:
Đường thẳng cắt mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng không vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, ta giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng và phương trình của mặt phẳng.
1. Hai mặt phẳng song song:
Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương. Tức là, A = kA', B = kB', C = kC' với k là một số thực khác 0.
2. Hai mặt phẳng vuông góc:
Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 0. Tức là, AA' + BB' + CC' = 0.
3. Góc giữa hai mặt phẳng:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng. Công thức tính góc φ giữa hai mặt phẳng là: cos φ = |(AA' + BB' + CC') / (√(A2 + B2 + C2) * √(A'2 + B'2 + C'2))|
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng P: 2x - y + z - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng P.
Giải: Vectơ chỉ phương của d là (1, -1, 2), vectơ pháp tuyến của P là (2, -1, 1). Ta có 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 5 ≠ 0, vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng P.
Lý thuyết về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian là một phần quan trọng của hình học không gian. Việc nắm vững các khái niệm, tính chất và ứng dụng của chúng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
