Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 4 trang 26, 27 SGK Toán 11 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập toán học.
Bài tập trong mục này tập trung vào các kiến thức về phép biến hóa affine, bao gồm các dạng bài tập về tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép biến hóa affine, và xác định phép biến hóa affine.
Cho hàm số (y = cos x) a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số \(y = \cos x\)
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) bằng cách tính giá trị của \(\cos x\) với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của \(\cos x\) với những x âm.
\(x\) | \( - \pi \) | \( - \frac{{3\pi }}{4}\) | \( - \frac{\pi }{2}\) | \( - \frac{\pi }{4}\) | 0 | \(\frac{\pi }{4}\) | \(\frac{\pi }{2}\) | \(\frac{{3\pi }}{4}\) | \(\pi \) |
\(\cos x\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
Bằng cách lấy nhiều điểm \(M\left( {x;\sin x} \right)\) với \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\).
c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ \(T = 2\pi \), ta được đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) như hình dưới đây.
Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \cos x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ
Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) = \cos x = f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D\)
Vậy \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
b)
\(x\) | \( - \pi \) | \( - \frac{{3\pi }}{4}\) | \( - \frac{\pi }{2}\) | \( - \frac{\pi }{4}\) | 0 | \(\frac{\pi }{4}\) | \(\frac{\pi }{2}\) | \(\frac{{3\pi }}{4}\) | \(\pi \) |
\(\cos x\) | \( - 1\) | \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) | \(0\) | \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) | 1 | \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) | 0 | \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) | \( - 1\) |
c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số \(y = \cos x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), tập giá trị là [-1;1] và đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right),\;k\; \in \;\mathbb{Z}\)
Tìm tập giá trị của hàm số \(y = - 3\cos x.\)
Phương pháp giải:
Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Vì
\( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(y = - 3\cos x\) là \(T = \left[ { - 3;3} \right]\).
Trong vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức \(x\left( t \right) = A\cos (\omega t + \varphi )\), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), \(\omega t + \varphi \) là pha dao động tại thời điểm t và \(\varphi \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\) (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).
Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x\left( t \right) = - 5\cos 4\pi t\) (cm).
a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.
b) Tính pha của dao động tại thời điểm \(t = 2\) (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?
Phương pháp giải:
Dựa vào phương trình tổng quát để xác định: Biên độ dao động, Pha dao động tại thời điểm t, Pha ban đầu
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: – 5cos 4πt = 5cos(4πt + π).
Biên độ dao động \(A = 5 > 0\); Pha ban đầu của dao động: \(\varphi = \pi\)
b) Pha dao động tại thời điểm \(t = 2\) là \(\omega t + \varphi = 4\pi .2 + \pi = 9\pi \)
Chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5\)
Trong khoảng thời gian 2 giây, số dao động toàn phần vật thực hiện được là: \(\frac{2}{{0,5}} = 4\) (dao động)
Mục 4 của SGK Toán 11 tập 1 chương trình Kết nối tri thức giới thiệu về phép biến hóa affine. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học, mở rộng khái niệm về phép biến hình tuyến tính. Để giải tốt các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững định nghĩa, tính chất của phép biến hóa affine và các dạng bài tập thường gặp.
Một phép biến hóa affine là một phép biến hình f: (P) → (P) thỏa mãn:
Trong đó (P) là một không gian vectơ.
Phép biến hóa affine bảo toàn tính thẳng hàng, bảo toàn tỷ số độ dài trên một đường thẳng và biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
Cho phép biến hóa affine f: (P) → (P) xác định bởi f(x, y) = (2x + y, x - y). Tìm ảnh của điểm A(1, 2) qua phép biến hóa f.
Lời giải:
Áp dụng công thức của phép biến hóa affine, ta có:
f(1, 2) = (2(1) + 2, 1 - 2) = (4, -1)
Vậy ảnh của điểm A(1, 2) qua phép biến hóa f là A'(4, -1).
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép biến hóa affine f: (P) → (P) xác định bởi f(x, y) = (x + 2y, 3x - y).
Lời giải:
Gọi M(x, y) là một điểm bất kỳ trên đường thẳng d. Khi đó, x + y - 1 = 0. Ảnh của M qua phép biến hóa f là M'(x', y') với:
x' = x + 2y
y' = 3x - y
Giải hệ phương trình này để tìm mối quan hệ giữa x' và y'. Từ x' = x + 2y và y' = 3x - y, ta có:
x = (x' - 2y')/5
y = (3x' + y')/5
Thay vào phương trình x + y - 1 = 0, ta được:
(x' - 2y')/5 + (3x' + y')/5 - 1 = 0
4x' - y' - 5 = 0
Vậy ảnh của đường thẳng d qua phép biến hóa f là đường thẳng d': 4x - y - 5 = 0.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán về phép biến hóa affine. Chúc các em học tốt!
