Bài học này cung cấp kiến thức nền tảng về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của một tập dữ liệu, bao gồm trung bình cộng, trung vị và mốt. Đây là những khái niệm quan trọng trong thống kê, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự phân bố và đặc điểm của dữ liệu.
Chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết một cách dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể để bạn có thể nắm bắt kiến thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Ngoài ra, bài viết còn cung cấp các bài tập thực hành để bạn củng cố kiến thức đã học.
1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\)
Trong đó, \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\)(với \(i = 1,2,...,k\)) là giá trị đại diện của nhóm \({\rm{[}}{a_i};{a_{i + 1}})\).
2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:
Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: \({\rm{[}}{a_p};{a_{p + 1}})\).
Bước 2. Trung vị là \({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)
Trong đó n là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm p.
Với \(p = 1\), ta quy ước \({m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0\)
3. Tứ phân vị của mấu số liệu ghép nhóm
Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_1}\), giả sử đó là nhóm thứ p: \({\rm{[}}{a_p};{a_{p + 1}})\). Khi đó,
\({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{_{p - 1}}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)
Trong đó n là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm p.
Với \(p = 1\), ta quy ước \({m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0\)
Để tính tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_3}\), giả sử đó là nhóm thứ p: \({\rm{[}}{a_p};{a_{p + 1}})\). Khi đó,
\({Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{_{p - 1}}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\)
Trong đó n là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm p. Với \(p = 1\), ta quy ước \({m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0\)
Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) chính là trung vị \({M_e}\).
4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: \({\rm{[}}{a_j};{a_{j + 1}})\).
Bước 2. Mốt được xác định là: \({M_o} = {a_j} + \frac{{{m_j} - {m_{j - 1}}}}{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right) + \left( {{m_j} - {m_{j + 1}}} \right)}}.h\)
Trong đó, \({m_j}\) là tần số của nhóm j (quy ước \({m_0} = {m_{k + 1}} = 0\)) và h là độ dài của nhóm.
Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
Trong thống kê, các số đặc trưng đo xu thế trung tâm đóng vai trò quan trọng trong việc tóm tắt và mô tả một tập dữ liệu. Chúng giúp chúng ta xác định giá trị điển hình hoặc trung tâm của dữ liệu, từ đó đưa ra những nhận xét và kết luận có ý nghĩa.
Trung bình cộng là tổng của tất cả các giá trị trong tập dữ liệu chia cho số lượng giá trị. Nó là một thước đo xu thế trung tâm phổ biến và dễ tính toán.
Công thức tính trung bình cộng:
x̄ = (∑xi) / n
Trong đó:
x̄ là trung bình cộngxi là giá trị thứ i trong tập dữ liệun là số lượng giá trị trong tập dữ liệuTrung vị là giá trị nằm ở giữa tập dữ liệu khi các giá trị được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Nếu số lượng giá trị là chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa.
Ví dụ:
Tập dữ liệu: 2, 4, 6, 8, 10
Trung vị = 6
Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong tập dữ liệu. Một tập dữ liệu có thể có một mốt (unimodal), nhiều mốt (multimodal) hoặc không có mốt.
Ví dụ:
Tập dữ liệu: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6
Mốt = 5
Mối quan hệ giữa trung bình cộng, trung vị và mốt có thể cho chúng ta biết về hình dạng của phân phối dữ liệu:
Ngoài các số đặc trưng đo xu thế trung tâm, phương sai và độ lệch chuẩn là những số đặc trưng đo độ phân tán của dữ liệu. Chúng cho biết mức độ các giá trị trong tập dữ liệu phân tán xung quanh giá trị trung bình.
Công thức tính phương sai:
σ² = (∑(xi - x̄)²) / n
Công thức tính độ lệch chuẩn:
σ = √σ²
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
Hãy thử giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết các số đặc trưng đo xu thế trung tâm. Chúc bạn học tập tốt!
