Bài 4.8 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 4.8 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4.8 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 4.8 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

• a) Tính đạo hàm f'(x).
• b) Tìm các điểm cực trị của hàm số.
• c) Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Tính đạo hàm f'(x)

Để tính đạo hàm f'(x), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số đa thức:

f'(x) = 3x² - 6x

b) Tìm các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Để xác định xem các điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):

f''(x) = 6x - 6

Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.

Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị là:

• f(0) = 2
• f(2) = 2³ - 3(2²) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

Vậy, hàm số có điểm cực đại là (0; 2) và điểm cực tiểu là (2; -2).

c) Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Dựa vào dấu của đạo hàm f'(x), ta có thể xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:

• f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2, vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
• f'(x) < 0 khi 0 < x < 2, vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Kết luận

Thông qua việc giải bài 4.8 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức, chúng ta đã củng cố kiến thức về đạo hàm, điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Bài tập này là một ví dụ điển hình về ứng dụng của đạo hàm trong việc phân tích và nghiên cứu hàm số.

Mở rộng kiến thức

Để hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập khó hơn.

Các kiến thức liên quan:

• Định nghĩa đạo hàm
• Quy tắc tính đạo hàm
• Ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị và khảo sát hàm số

Ví dụ minh họa thêm

Xét hàm số g(x) = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1. Hãy tìm các điểm cực trị của hàm số này.

Lời giải:

1. Tính đạo hàm g'(x) = 4x³ - 12x² + 8x.
2. Giải phương trình g'(x) = 0: 4x³ - 12x² + 8x = 0 => 4x(x² - 3x + 2) = 0 => 4x(x-1)(x-2) = 0. Vậy x = 0, x = 1, x = 2.
3. Tính đạo hàm bậc hai g''(x) = 12x² - 24x + 8.
4. Xét dấu g''(x) tại các điểm cực trị:
• g''(0) = 8 > 0 => x = 0 là điểm cực tiểu.
• g''(1) = 12 - 24 + 8 = -4 < 0 => x = 1 là điểm cực đại.
• g''(2) = 12(4) - 24(2) + 8 = 8 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu.
5. Kết luận: Hàm số có điểm cực đại tại (1; 2) và hai điểm cực tiểu tại (0; 1) và (2; 1).