Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hình. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về các phép biến hình cơ bản như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 5.3 trang 109, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi a) ({u_n} = frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}) b) ({v_n} = sqrt {2{n^2} + 1} - n)
Đề bài
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi
a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\)
b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là bạc cao nhất.
b, Nhân với biểu thức liên hợp \(\left( {\sqrt A - B} \right).\left( {\sqrt A + B} \right) = A - {B^2}\).
Lời giải chi tiết
a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}\)
Ta có: \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 1,\;\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 0\)
Suy ra \({u_n}\; = + \infty \)
b) \({v_n}\; = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\; = \frac{{2{n^2} + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {2{n^2} + 1} + n }}\; = \frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}\left( {\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} } \right)}} = \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} }}\;\; = + \infty \)
Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hình. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài 5.3 yêu cầu học sinh thực hiện các phép biến hình trên một hình cho trước, hoặc xác định phép biến hình biến một hình này thành một hình khác. Các phép biến hình thường gặp bao gồm:
(Nội dung lời giải chi tiết cho từng ý của bài tập 5.3 sẽ được trình bày tại đây. Ví dụ:)
a) Để thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v = (a; b), ta cộng vectơ v vào tọa độ của mỗi điểm trong hình. Ví dụ, nếu điểm A(x; y) thì điểm A' sau khi tịnh tiến sẽ có tọa độ A'(x + a; y + b).
b) Để thực hiện phép quay quanh điểm O(x0; y0) với góc α, ta sử dụng công thức quay điểm:
x' = x0 + (x - x0)cosα - (y - y0)sinα
y' = y0 + (x - x0)sinα + (y - y0)cosα
Để giải các bài tập tương tự, học sinh cần:
Cho điểm A(1; 2) và vectơ v = (3; -1). Hãy tìm tọa độ điểm A' sau khi thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v.
Giải:
A'(1 + 3; 2 - 1) = A'(4; 1)
Khi thực hiện các phép biến hình, cần chú ý đến thứ tự thực hiện các phép biến hình. Nếu có nhiều phép biến hình được thực hiện liên tiếp, thì kết quả cuối cùng sẽ phụ thuộc vào thứ tự thực hiện.
Để củng cố kiến thức về phép biến hình, học sinh có thể tự giải các bài tập sau:
Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ về phép biến hình. Bằng cách nắm vững kiến thức và phương pháp giải, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và áp dụng vào các lĩnh vực khác của Toán học.
| Phép biến hình | Công thức |
|---|---|
| Tịnh tiến | A'(x + a; y + b) |
| Quay | x' = x0 + (x - x0)cosα - (y - y0)sinα, y' = y0 + (x - x0)sinα + (y - y0)cosα |
