Bài 3. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng.

I. Định nghĩa và các khái niệm cơ bản

Một cấp số cộng (un) được xác định bởi số hạng đầu u1 và công sai d. Công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số cộng là:

un = u1 + (n - 1)d

Trong đó:

un: Số hạng thứ n của cấp số cộng
u1: Số hạng đầu của cấp số cộng
d: Công sai của cấp số cộng
n: Vị trí của số hạng trong dãy

II. Các tính chất quan trọng của cấp số cộng

Một số tính chất quan trọng của cấp số cộng bao gồm:

Nếu u1 = u2 thì d = 0 và cấp số cộng là một dãy số không đổi.
Nếu u1 = 0 thì un = (n - 1)d.
Nếu un = 0 thì u1 = (1 - n)d.

III. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (Sn) được tính theo công thức:

Sn = n/2 * (u1 + un)
Sn = n/2 * [2u1 + (n - 1)d]

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có u1 = 2 và d = 3. Tìm u5 và S5.

Giải:

u5 = u1 + (5 - 1)d = 2 + 4 * 3 = 14
S5 = 5/2 * (u1 + u5) = 5/2 * (2 + 14) = 40

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có u1 = 5 và u8 = 29. Tìm d và S8.

Giải:

u8 = u1 + (8 - 1)d => 29 = 5 + 7d => d = 4
S8 = 8/2 * (u1 + u8) = 4 * (5 + 29) = 136

V. Ứng dụng của cấp số cộng trong thực tế

Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Tính số tiền lãi khi gửi tiết kiệm với lãi suất cố định.
Tính số lượng sản phẩm được sản xuất theo thời gian với tốc độ tăng đều.
Tính chiều cao của các tầng trong một tòa nhà nếu chiều cao mỗi tầng là như nhau.