Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong phần Hàm số và đồ thị. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai, tìm khoảng giá trị của hàm số và nhiều ứng dụng thực tế khác.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

Trường hợp 1: a > 0

Nếu Δ < 0: f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ (tam thức luôn dương).
Nếu Δ = 0: f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ (tam thức không âm).
Nếu Δ > 0: f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Khi đó:

f(x) > 0 với x < x₁ hoặc x > x₂.
f(x) < 0 với x₁ < x < x₂.

Trường hợp 2: a < 0

Nếu Δ < 0: f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ (tam thức luôn âm).
Nếu Δ = 0: f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ (tam thức không dương).
Nếu Δ > 0: f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Khi đó:

f(x) < 0 với x < x₁ hoặc x > x₂.
f(x) > 0 với x₁ < x < x₂.

3. Ví dụ minh họa

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, c = 2. Biệt thức Δ = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0.

Vậy, f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1/2 và x₂ = 2. Do a = 2 > 0, ta có:

f(x) > 0 với x < 1/2 hoặc x > 2.
f(x) < 0 với 1/2 < x < 2.

4. Bài tập áp dụng

Hãy xác định dấu của các tam thức bậc hai sau:

f(x) = x² + 4x + 3
f(x) = -x² + 2x - 1
f(x) = 3x² - 7x + 4

5. Ứng dụng của việc xét dấu tam thức bậc hai

Việc xét dấu tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học, đặc biệt là:

Giải bất phương trình bậc hai.
Tìm khoảng giá trị của hàm số bậc hai.
Xác định miền xác định của hàm số chứa căn bậc hai.

6. Lưu ý quan trọng

Khi xét dấu tam thức bậc hai, cần chú ý đến hệ số a và biệt thức Δ. Việc xác định đúng dấu của a và Δ sẽ giúp chúng ta xác định chính xác dấu của tam thức trên các khoảng khác nhau.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai. Chúc các em học tập tốt!