Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai và ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán liên quan.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, tính chất và các phương pháp xác định dấu của tam thức bậc hai một cách chi tiết và dễ hiểu. Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán.
1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0,\Delta = {b^2} - 4ac.\)
+ \(\Delta < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)
+ \(\Delta = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\)
+ \(\Delta > 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\)
2. Ví dụ
Xét dấu của tam thức bậc hai: \(f(x) = 2{x^2} + 3x - 2\)
Giải:
\(\Delta = {3^2} - 4.2.( - 2) = 25 > 0\)
Tam thức bậc hai \(f(x) = 2{x^2} + 3x - 2\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 2,{x_2} = \frac{1}{2}\) và hệ số \(a = 2 > 0\)
Ta có bảng xét dấu \(f(x)\) như sau:
Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là khi xét đến các bài toán về bất phương trình bậc hai. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai là chìa khóa để giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả.
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, và c là các số thực, và a ≠ 0.
Nghiệm của tam thức bậc hai là các giá trị của x sao cho f(x) = 0. Để tìm nghiệm, ta giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0. Phương pháp giải thường dùng là công thức nghiệm:
x1,2 = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
Biệt thức delta (Δ) được tính bằng công thức: Δ = b2 - 4ac. Delta đóng vai trò quan trọng trong việc xác định số lượng nghiệm của phương trình bậc hai:
Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và delta (Δ):
Bảng xét dấu là một công cụ hữu ích để trực quan hóa dấu của tam thức bậc hai. Ví dụ, xét tam thức f(x) = x2 - 5x + 6 với a = 1 > 0 và Δ = (-5)2 - 4(1)(6) = 1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 2 và x2 = 3. Bảng xét dấu:
| x | -∞ | 2 | 3 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| x - 2 | - | + | + | + |
| x - 3 | - | - | + | + |
| f(x) | + | - | + | + |
Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bất phương trình bậc hai, tìm tập nghiệm của bất phương trình, và xác định khoảng giá trị của x sao cho tam thức bậc hai dương hoặc âm.
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng thành thạo vào giải các bài toán thực tế.
