Hàm số và đồ thị là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán 10, đặc biệt là với SGK Cánh diều. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng vẽ đồ thị hàm số là bước đệm quan trọng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp hệ thống lý thuyết Hàm số và Đồ thị được trình bày một cách dễ hiểu, logic, kèm theo các ví dụ minh họa chi tiết giúp bạn dễ dàng tiếp thu và áp dụng vào giải bài tập.
I. Hàm số II. Đồ thị hàm số III. Sự biến thiên của hàm số
I. Hàm số
1. Định nghĩa:
Cho \(\emptyset \ne D \subset \mathbb{R}\)
Nếu với mỗi \(x \in D\), ta xác định được y duy nhất (\(y \in \mathbb{R}\)) thì ta có một hàm số.
+) Tên gọi:
x là biến số, y là hàm số của x
D là tập xác định
\(T = \left\{ {y|x \in D} \right\}\) là tập giá trị của hàm số.
+) Kí hiệu hàm số: \(y = f(x),\;x \in D\)
2. Cách cho hàm số
a. Hàm số cho bằng công thức
TXĐ của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp tất cả các \(x \in \mathbb{R}\) sao cho \(f(x)\) có nghĩa.
b. Hàm số cho bằng nhiều công thức.
Ví dụ: \(y = \left\{ \begin{array}{l}3x + 1\quad (x \ge 1)\\5x - 1\quad (x < 1)\end{array} \right.\)
c. Hàm số không cho bằng công thức.
Trong thực tiễn, có những tình huống dẫn tới những hàm số không thể cho bằng công thức. Chúng có thể được cho bằng bảng hoặc biểu đồ.
II. Đồ thị hàm số
+) Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên D, Khi đó đồ thị \((C) = \left\{ {M(x;f(x))|x \in D} \right\}\)
+) Điểm \(M({x_M};{y_M})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} \in D\\{y_M} = f({x_M})\end{array} \right.\)
III. Sự biến thiên của hàm số
1. Khái niệm:
+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
+) Bảng biến thiên
Mũi tên đi xuống: diễn tả hàm số nghịch biến
Mũi tên đi lên: diễn tả hàm số đồng biến
2. Mô tả hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến bằng đồ thị:
+) Trên khoảng \((a;b)\)
- Hàm số đồng biến (tăng) thì đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải.
- Hàm số nghịch biến (giảm) thì đồ thị có dạng đi xuồng từ trái sang phải.
Hàm số là một khái niệm cơ bản trong toán học, mô tả mối quan hệ giữa hai tập hợp. Trong chương trình Toán 10, học sinh bắt đầu làm quen với các loại hàm số đơn giản như hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai và các hàm số đặc biệt khác.
Một hàm số f từ tập A (tập xác định) đến tập B (tập giá trị) là một quy tắc tương ứng mỗi phần tử x thuộc A với duy nhất một phần tử y thuộc B. Ký hiệu: y = f(x).
Tập xác định (TXĐ) của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có nghĩa. Ví dụ, với hàm số y = 1/x, TXĐ là tất cả các số thực khác 0.
Tập giá trị (TGT) của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của y mà hàm số có thể nhận được. Ví dụ, với hàm số y = x2, TGT là tất cả các số thực không âm.
Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (với a ≠ 0).
Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng. Để vẽ đồ thị, ta cần xác định hai điểm thuộc đường thẳng, ví dụ: điểm giao với trục Ox (khi y = 0) và điểm giao với trục Oy (khi x = 0).
Hàm số bậc hai có dạng y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0).
Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol.
Đỉnh của parabol:I(x0; y0), với x0 = -b/2a và y0 = f(x0).
Trục đối xứng của parabol: đường thẳng x = x0.
Ngoài hàm số bậc nhất và bậc hai, chương trình Toán 10 còn giới thiệu một số loại hàm số khác như:
Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu với mọi x1, x2 thuộc khoảng đó, và x1 < x2 thì f(x1) ≤ f(x2).
Một hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu với mọi x1, x2 thuộc khoảng đó, và x1 < x2 thì f(x1) ≥ f(x2).
Bài tập 1: Xác định tập xác định của hàm số y = √(2x - 1).
Giải: Hàm số có nghĩa khi 2x - 1 ≥ 0, suy ra x ≥ 1/2. Vậy TXĐ của hàm số là [1/2; +∞).
Bài tập 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x - 3.
Giải:
Việc nắm vững lý thuyết Hàm số và Đồ thị là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán trong chương trình Toán 10 và các chương trình toán học nâng cao hơn. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng các kiến thức đã học vào thực tế để đạt kết quả tốt nhất.
