Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hoán vị và Chỉnh hợp trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Đây là một trong những chủ đề quan trọng giúp bạn xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các bài tập có đáp án chi tiết để bạn có thể tự học và ôn luyện hiệu quả.
A. Lý thuyết 1. Hoán vị a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Hoán vị
a) Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. |
b) Số các hoán vị
| Kí hiệu \({P_n}\) là số các hoán vị của n phần tử. Ta có \({P_n} = n(n - 1)...2.1\). |
2. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa
Trong thực tiễn, bên cạnh việc chọn ra một số đối tượng từ những đối tượng cho trước, ta còn cần sắp xếp thứ tự của những đối tượng được chọn ra.
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với \(1 \le k \le n\). Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. |
b) Số các chỉnh hợp
Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \((1 \le k \le n)\). Ta có: \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}} = n(n - 1)...(n - k + 1)\). |
Nhận xét: \(A_n^n = {P_n}\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
B. Bài tập
Bài 1: Hãy liệt kê các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3.
Giải:
Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3 là: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Bài 2: Tính số cách xếp thứ tự đã luân lưu 11 m của 5 cầu thủ.
Giải:
Mỗi cách xếp thứ tự đã luận lưu 11 m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ.
Vậy số cách sắp xếp là: \({P_5} = 5.4.3.2.1 = 120\).
Bài 3: Hãy liệt kê các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
Giải:
Các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.
Bài 4: Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã của là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã?
Giải:
Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.
Vậy có \(A_{10}^6 = 10.9.8.7.6.5 = 151200\) (cách để tạo mật mã).
Trong chương trình Toán 10, phần Hoán vị và Chỉnh hợp là một chủ đề quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững khái niệm và công thức để giải quyết các bài toán thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về lý thuyết này, dựa trên nội dung SGK Toán 10 Cánh diều.
Hoán vị và Chỉnh hợp là hai khái niệm liên quan đến việc sắp xếp các phần tử của một tập hợp. Tuy nhiên, chúng có những điểm khác biệt quan trọng:
Định nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định.
Công thức: Số hoán vị của n phần tử là Pn = n!
Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?
Giải: Số cách sắp xếp là P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp k phần tử được chọn từ n phần tử theo một thứ tự nhất định.
Công thức: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ank = n! / (n-k)!
Ví dụ: Từ tập hợp {A, B, C, D}, có bao nhiêu chỉnh hợp chập 2?
Giải: Số chỉnh hợp là A42 = 4! / (4-2)! = 4! / 2! = 4 x 3 = 12
| Đặc điểm | Hoán vị | Chỉnh hợp |
|---|---|---|
| Số lượng phần tử được sắp xếp | Tất cả các phần tử | Một số phần tử (k ≤ n) |
| Công thức | Pn = n! | Ank = n! / (n-k)! |
| Ví dụ | Sắp xếp 5 học sinh trong một hàng | Chọn 3 học sinh từ 5 học sinh để xếp vào 3 vị trí khác nhau |
Khi giải các bài toán về Hoán vị và Chỉnh hợp, cần xác định rõ:
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Hoán vị và Chỉnh hợp trong SGK Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
