Hàm số bậc hai là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán 10, đặc biệt là theo SGK Cánh diều.
Bài viết này của giaibaitoan.com sẽ cung cấp đầy đủ và chi tiết lý thuyết về hàm số bậc hai, cách vẽ đồ thị và các ứng dụng thực tế, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập.
I. Hàm số bậc hai II. Đồ thị hàm số bậc hai
I. Hàm số bậc hai
+ Định nghĩa:
Hàm số bậc hai là hàm số cho bằng công thức dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0.\)
+ Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
II. Đồ thị hàm số bậc hai
+) Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) là một parabol (P):
- Đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
- Trục đối xứng: đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
- Bề lõm: quay lên trên nếu \(a > 0\), quay xuống dưới nếu \(a < 0\)
- Cắt Oy tại điểm \((0;c)\)
* Chú ý: Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.
+) Vẽ đồ thị
1) Xác định đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
2) Vẽ trục đối xứng d: \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).
Xác định \(B\left( {\frac{{ - b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)
4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.
III. Ứng dụng
+) Bảng biến thiên
+) Ứng dụng của hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong đại số, đóng vai trò nền tảng cho nhiều kiến thức toán học nâng cao hơn. Trong chương trình Toán 10, học sinh sẽ được làm quen với hàm số bậc hai thông qua sách giáo khoa Cánh diều, nơi trình bày một cách hệ thống và dễ hiểu về lý thuyết, tính chất và ứng dụng của hàm số này.
Hàm số bậc hai có dạng tổng quát: y = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. 'a' là hệ số bậc hai, 'b' là hệ số bậc nhất và 'c' là hệ số tự do.
Tập xác định của hàm số bậc hai là tập hợp tất cả các số thực, ký hiệu là ℝ. Điều này có nghĩa là hàm số bậc hai có thể nhận bất kỳ giá trị nào của x.
Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong được gọi là parabol. Hình dạng của parabol phụ thuộc vào dấu của hệ số 'a':
Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (nếu a > 0) hoặc điểm cao nhất (nếu a < 0) trên đồ thị. Tọa độ đỉnh của parabol được tính theo công thức:
I(x0; y0), với x0 = -b / 2a và y0 = f(x0)
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đi qua đỉnh và song song với trục Oy. Phương trình của trục đối xứng là x = -b / 2a.
Bảng biến thiên giúp ta hình dung được sự biến đổi của hàm số khi x thay đổi. Bảng biến thiên được xây dựng dựa trên các yếu tố sau:
Hàm số bậc hai có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Ví dụ 1: Xác định hệ số a, b, c của hàm số y = 2x2 - 5x + 3.
Giải: a = 2, b = -5, c = 3.
Ví dụ 2: Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = x2 - 4x + 1.
Giải: x0 = -(-4) / (2 * 1) = 2; y0 = 22 - 4 * 2 + 1 = -3. Vậy đỉnh của parabol là I(2; -3).
Để nắm vững kiến thức về hàm số bậc hai, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập.
Hàm số bậc hai là một chủ đề quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập về hàm số bậc hai sẽ giúp bạn đạt kết quả tốt trong môn Toán 10 và chuẩn bị cho các kiến thức nâng cao hơn trong tương lai.
