Bài học về tổng và hiệu của hai vecto là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Nắm vững kiến thức này giúp học sinh hiểu rõ hơn về các phép toán trên vecto và ứng dụng trong giải quyết các bài toán hình học.
giaibaitoan.com cung cấp lý thuyết chi tiết, dễ hiểu cùng với các ví dụ minh họa sinh động, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
A. Lý thuyết 1. Tổng của hai vecto a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Tổng của hai vecto
a) Định nghĩa
| Với ba điểm bất kì A, B, C, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \), kí hiệu là \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \). |
Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.
b) Quy tắc hình bình hành
| Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). |
c) Tính chất
Với ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tùy ý ta có: - Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \) - Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\) - Tính chất của vecto-không: \(\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow a \) |
2. Hiệu của hai vecto
a) Hai vecto đối nhau
| Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) được gọi là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \), kí hiệu là \( - \overrightarrow a \). Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) được gọi là hai vecto đối nhau. |
Quy ước: Vecto đối của vecto \(\overrightarrow 0 \) là vecto \(\overrightarrow 0 \).
Nhận xét:
+) \(\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = ( - \overrightarrow a ) + \overrightarrow a \).
+) Hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \).
+) Với hai điểm A, B, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \).
| Cho hai điểm A, B. Khi đó, hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BA} \) là hai vecto đối nhau, tức là \(\overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AB} \). |
Chú ý:
+) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \). +) G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \). |
b) Hiệu của hai vecto
| Hiệu của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto \(\overrightarrow b \) là tổng của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto đối của vecto \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \). |
Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.
Nhận xét: Với ba điểm A, B, O bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \).
B. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AM} \).
Giải:
Vì \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BM} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} \).
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right|\).
Giải:
Theo quy tắc hình bình hành, ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\), \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Do AC = BD nên \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right|\).
Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} \)
\( = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \) (tính chất giao hoán)
\( = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} \) (tính chất kết hợp)
\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \) (quy tắc ba điểm)
\( = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc ba điểm).
Bài 4: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DD} = \overrightarrow 0 \).
Trong chương trình Toán 10, phần vectơ đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng cho các kiến thức hình học và vật lý ở các lớp trên. Một trong những nội dung cơ bản và thiết yếu của chương này là lý thuyết về tổng và hiệu của hai vectơ. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết này theo sách giáo khoa Toán 10 Cánh diều, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập để giúp học sinh hiểu rõ hơn.
Trước khi đi vào lý thuyết về tổng và hiệu của hai vectơ, chúng ta cần ôn lại khái niệm vectơ. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.
Tổng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a + b, là một vectơ được xác định theo quy tắc hình bình hành. Quy tắc hình bình hành như sau:
Ngoài ra, tổng của hai vectơ cũng có thể được xác định theo quy tắc tam giác:
Hiệu của hai vectơ a và b, ký hiệu là a - b, là một vectơ được xác định như sau:
a - b = a + (-b), trong đó -b là vectơ đối của vectơ b.
Vectơ đối của một vectơ có cùng độ dài và hướng ngược với vectơ ban đầu.
Hiệu của hai vectơ cũng có thể được xác định theo quy tắc hình bình hành:
Ví dụ 1: Cho hai vectơ a và b có độ dài lần lượt là 3 và 4, và góc giữa chúng là 60 độ. Tính độ dài của vectơ a + b.
Giải:
Sử dụng công thức tính độ dài của vectơ tổng:
|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cos(60°)
|a + b|^2 = 3^2 + 4^2 + 2 * 3 * 4 * 0.5 = 9 + 16 + 12 = 37
|a + b| = √37
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MA + MB + MC = 0.
Giải:
Vì M là trung điểm của BC, ta có MB = MC. Do đó, MB + MC = 2MC.
Mặt khác, MA + MB + MC = MA + 2MC.
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có MA + MB = BA và MA + MC = CA.
Do đó, MA + MB + MC = BA + MC. Tuy nhiên, cách tiếp cận này không dẫn đến kết quả 0. Cách giải đúng là sử dụng tính chất của vectơ:
MA + MB + MC = MA + MB + MC = MA + (MB + MC) = MA + 0 = MA. Điều này không đúng. Cần xem lại đề bài hoặc cách chứng minh.
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết tổng và hiệu của hai vectơ trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
