Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục II trang 85, 86 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập Toán 10.
Bài viết này sẽ trình bày đầy đủ các bước giải, phân tích từng khía cạnh của bài toán, đảm bảo các em hiểu rõ bản chất và áp dụng được vào các bài tập tương tự.
Trong Hình 54, hai ròng rọc có trục quay nằm ngang và song song với nhau, hai vật có trọng lượng bằng nahu. Mỗi dây có một đầu buộc vào vật, một đầu buộc vào một mảnh nhựa cứng. Cho tam giác ABC có M là trung điểm AC, N là trung điểm BC và AB = a. Tính độ dài vecto
Cho tam giác ABC có M là trung điểm AC, N là trung điểm BC và AB = a. Tính độ dài vecto \(\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} \).
Phương pháp giải:
Bước 1: Chỉ ra \(\overrightarrow {NC} = - \overrightarrow {NB} \). Suy ra \(\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {NC} \)
Bước 2: Sử dụng tính chất giao hoán, xác định vecto tổng \(\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {NC} \)
Bước 3: Tính độ dài vecto đó theo a.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NC} \) là hai vecto đối nhau (do N là trung điểm của BC)
\( \Rightarrow \overrightarrow {NC} = - \overrightarrow {NB} \)
Do đó: \(\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CM} \)(tính chất giáo hoán)
\( \Rightarrow \overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NM} \Leftrightarrow \;|\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} |\, = \;|\overrightarrow {NM} | = NM.\)
Vì: M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên \(MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.\)
Vậy \(\;|\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} |\, = \frac{a}{2}.\)
Trong Hình 54, hai ròng rọc có trục quay nằm ngang và song song với nhau, hai vật có trọng lượng bằng nahu. Mỗi dây có một đầu buộc vào vật, một đầu buộc vào một mảnh nhựa cứng. Hai vật lần lượt tác động lên mảng nhựa các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} .\) Nhận xét về hướng và độ dài của mỗi cặp vecto sau:
a) \(\overrightarrow {{P_1}} \) và \(\overrightarrow {{P_2}} \) biểu diễn trọng lực của hai vật
b) \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\;\overrightarrow {{F_2}} .\)
(Bỏ qua trọng lượng các dây và các lực ma sát).
Phương pháp giải:
a) Nhận xét về phương, hướng và độ lớn của trọng lực của hai vật
b) Nhận xét về phương, hướng và độ lớn của hai lực.
Lời giải chi tiết:
a) Trọng lực của hai vật đều hướng xuống, vuông góc với mặt đất, đo dó chúng cùng phương, cùng hướng với nhau.
Hơn nữa: Công thức tính độ lớn trọng lực là: \(P = mg\).
Hai vật có khối lượng như nhau, do đó \({P_1} = {P_2}\)
Vậy \(\overrightarrow {{P_1}} = \overrightarrow {{P_2}} \)
b) Do trọng lực tạo thành lực kéo lên mảnh nhựa nên độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} \) là như nhau.
Chúng có hướng ngược nhau.
Cho hai vecto \(\overrightarrow a \),\(\overrightarrow b \). Lấy một điểm M tùy ý.
a) Vẽ \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {MB} = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {MC} = - \overrightarrow b \) (Hình 56)
b) Tổng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(( - \overrightarrow b )\) bằng vecto nào?
Phương pháp giải:
a) Áp dụng kết quả: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \)ABCD là hình bình hành. Để xác định các điểm A, B, C.
b) Đặt vecto \(\overrightarrow a \) và \(( - \overrightarrow b )\) vào hai vecto chung gốc là hai cạnh của một hình bình hành. Từ đó xác định tổng theo quy tắc hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
a) Đặt D, E lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow a \)hay \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {DE} \)
\( \Leftrightarrow MAED\) là hình bình hành.
Do đó A là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow a \)và điểm M.
Tương tự ta có:
B là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow b \)và điểm M.
Lại có: \(\overrightarrow {MC} = - \overrightarrow b = - \overrightarrow {MB} \) do đó \(MC = MB\) và hai vecto \(\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {MC} \) ngược hướng nhau.
Hay M là trung điểm đoạn thẳng BC.
b) Lấy N là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMCN.
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MN} \)
Mà: \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow a ;\;\overrightarrow {MC} = - \overrightarrow b \)
\( \Rightarrow \overrightarrow a + ( - \overrightarrow b ) = \overrightarrow {MN} \).
Trong Hình 54, hai ròng rọc có trục quay nằm ngang và song song với nhau, hai vật có trọng lượng bằng nahu. Mỗi dây có một đầu buộc vào vật, một đầu buộc vào một mảnh nhựa cứng. Hai vật lần lượt tác động lên mảng nhựa các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} .\) Nhận xét về hướng và độ dài của mỗi cặp vecto sau:
a) \(\overrightarrow {{P_1}} \) và \(\overrightarrow {{P_2}} \) biểu diễn trọng lực của hai vật
b) \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\;\overrightarrow {{F_2}} .\)
(Bỏ qua trọng lượng các dây và các lực ma sát).
Phương pháp giải:
a) Nhận xét về phương, hướng và độ lớn của trọng lực của hai vật
b) Nhận xét về phương, hướng và độ lớn của hai lực.
Lời giải chi tiết:
a) Trọng lực của hai vật đều hướng xuống, vuông góc với mặt đất, đo dó chúng cùng phương, cùng hướng với nhau.
Hơn nữa: Công thức tính độ lớn trọng lực là: \(P = mg\).
Hai vật có khối lượng như nhau, do đó \({P_1} = {P_2}\)
Vậy \(\overrightarrow {{P_1}} = \overrightarrow {{P_2}} \)
b) Do trọng lực tạo thành lực kéo lên mảnh nhựa nên độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} \) là như nhau.
Chúng có hướng ngược nhau.
Cho hai vecto \(\overrightarrow a \),\(\overrightarrow b \). Lấy một điểm M tùy ý.
a) Vẽ \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {MB} = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {MC} = - \overrightarrow b \) (Hình 56)
b) Tổng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(( - \overrightarrow b )\) bằng vecto nào?
Phương pháp giải:
a) Áp dụng kết quả: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \)ABCD là hình bình hành. Để xác định các điểm A, B, C.
b) Đặt vecto \(\overrightarrow a \) và \(( - \overrightarrow b )\) vào hai vecto chung gốc là hai cạnh của một hình bình hành. Từ đó xác định tổng theo quy tắc hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
a) Đặt D, E lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow a \)hay \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {DE} \)
\( \Leftrightarrow MAED\) là hình bình hành.
Do đó A là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow a \)và điểm M.
Tương tự ta có:
B là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow b \)và điểm M.
Lại có: \(\overrightarrow {MC} = - \overrightarrow b = - \overrightarrow {MB} \) do đó \(MC = MB\) và hai vecto \(\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {MC} \) ngược hướng nhau.
Hay M là trung điểm đoạn thẳng BC.
b) Lấy N là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMCN.
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MN} \)
Mà: \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow a ;\;\overrightarrow {MC} = - \overrightarrow b \)
\( \Rightarrow \overrightarrow a + ( - \overrightarrow b ) = \overrightarrow {MN} \).
Cho tam giác ABC có M là trung điểm AC, N là trung điểm BC và AB = a. Tính độ dài vecto \(\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} \).
Phương pháp giải:
Bước 1: Chỉ ra \(\overrightarrow {NC} = - \overrightarrow {NB} \). Suy ra \(\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {NC} \)
Bước 2: Sử dụng tính chất giao hoán, xác định vecto tổng \(\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {NC} \)
Bước 3: Tính độ dài vecto đó theo a.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NC} \) là hai vecto đối nhau (do N là trung điểm của BC)
\( \Rightarrow \overrightarrow {NC} = - \overrightarrow {NB} \)
Do đó: \(\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CM} \)(tính chất giáo hoán)
\( \Rightarrow \overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NM} \Leftrightarrow \;|\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} |\, = \;|\overrightarrow {NM} | = NM.\)
Vì: M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên \(MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.\)
Vậy \(\;|\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {NB} |\, = \frac{a}{2}.\)
Mục II trong SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều tập trung vào các kiến thức về vectơ, đặc biệt là các phép toán trên vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Các bài tập trang 85 và 86 thường yêu cầu học sinh vận dụng các định nghĩa, tính chất và công thức đã học để giải quyết các vấn đề cụ thể.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định tọa độ của một vectơ dựa trên tọa độ của các điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững công thức tính tọa độ của vectơ: Nếu A(xA, yA) và B(xB, yB) thì vectơ AB có tọa độ (xB - xA, yB - yA).
Ví dụ: Cho A(1, 2) và B(3, 4). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải: Vectơ AB có tọa độ (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2).
Bài tập này yêu cầu học sinh thực hiện các phép cộng, trừ, nhân với một số thực trên các vectơ. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các quy tắc sau:
Ví dụ: Cho vectơ a = (1, 2) và b = (3, 4). Tính vectơ a + b và 2a.
Giải: a + b = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6). 2a = (2*1, 2*2) = (2, 4).
Bài tập này yêu cầu học sinh sử dụng vectơ để chứng minh các tính chất hình học, chẳng hạn như chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh ba điểm thẳng hàng, hoặc tính diện tích của một hình.
Ví dụ: Cho ba điểm A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Giải: Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta cần chứng minh vectơ AB và vectơ AC cùng phương. Vectơ AB = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2). Vectơ AC = (5 - 1, 6 - 2) = (4, 4). Ta thấy vectơ AC = 2 vectơ AB, do đó vectơ AB và vectơ AC cùng phương. Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Khi giải các bài tập về vectơ, học sinh cần chú ý các điểm sau:
Ngoài SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh đã có thể tự tin giải các bài tập mục II trang 85, 86 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
