Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của vecto, một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để hiểu rõ về tọa độ của vecto, cách biểu diễn và ứng dụng của chúng trong giải quyết các bài toán hình học.
Chúng tôi tại giaibaitoan.com cam kết mang đến cho bạn những bài giảng chất lượng, dễ hiểu và bài tập thực hành phong phú để bạn có thể tự tin chinh phục môn Toán.
A. Lý thuyết 1. Tọa độ của một điểm
A. Lý thuyết
1. Tọa độ của một điểm
Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau: + Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M. + Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M. Cặp số (a;b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta ký hiệu là M(a;b). |
2. Tọa độ của một vecto
| Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \). |
\(\overrightarrow {OM} = (a;b)\) thì a là hoành độ, b là tung độ của \(\overrightarrow {OM} \).
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:
+ \(\overrightarrow {OM} = (a;b) \Leftrightarrow M(a;b)\).
+ Vecto \(\overrightarrow i (1;0)\), \(\overrightarrow j (0;1)\) có điểm gốc O lần lượt là các vecto đơn vị trên trục Ox, Oy.
| Với mỗi vecto \(\overrightarrow u \) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vecto \(\overrightarrow u \) là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \). |
Ta có định lí sau:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu \(\overrightarrow u = (a;b)\) thì \(\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \). Ngược lại, nếu \(\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \) thì \(\overrightarrow u = (a;b)\). |
Chú ý: Với \(\overrightarrow a = ({x_1};{y_1})\) và \(\overrightarrow b = ({x_2};{y_2})\), ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\end{array} \right.\).
Như vậy, mỗi vecto hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.
3. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vecto
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A({x_A};{y_A})\) và \(B({x_B};{y_B})\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\). |
B. Bài tập
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M, N, P, Q. Tìm tọa độ các vecto \(\overrightarrow {OM} \),\(\overrightarrow {ON} \), \(\overrightarrow {OP} \), \(\overrightarrow {OQ} \).
Giải:
Từ hình vẽ, ta có: M(-4;3), N(3;0), P(5;-2), Q(0;-3).
Do đó: \(\overrightarrow {OM} = ( - 4;3)\), \(\overrightarrow {ON} = (3;0)\), \(\overrightarrow {OP} = (5; - 2)\), \(\overrightarrow {OQ} = (0; - 3)\).
Bài 2: Tìm tọa độ của các vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) trong hình.
Giải:
Ta có:
\(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} \) và A(2;2); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ điểm A nên \(\overrightarrow a = (2;2)\).
\(\overrightarrow b = \overrightarrow {OB} \) và A(1;-3); tọa độ vecto \(\overrightarrow {OB} \) chính là tọa độ điểm B nên \(\overrightarrow b = (1; - 3)\).
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2) và vecto \(\overrightarrow u = (3; - 4)\).
a) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow u \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
b) Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OA} \) qua hai vecto \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
Giải:
a) Vì \(\overrightarrow u = (3; - 4)\) nên \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i + ( - 4)\overrightarrow j = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
b) Vì điểm A có tọa độ là (1;2) nên \(\overrightarrow {OA} = (1;2)\). Do đó:
\(\overrightarrow {OA} = 1\overrightarrow i + 2\overrightarrow j = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j \).
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(1;1), B(4;3), C(-1;-2).
a) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \).
b) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (4 - 1;3 - 1)\). Vậy \(\overrightarrow {AB} = (3;2)\).
b) Gọi tọa độ của điểm D là \(({x_D};{y_D})\), ta có: \(\overrightarrow {DC} = ( - 1 - {x_D}; - 2 - {y_D})\).
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = (3;2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - {x_D} = 3\\ - 2 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 4\\{y_D} = - 4\end{array} \right.\).
Vậy D(-4;-4).
Trong chương trình Toán 10, phần Lý thuyết Tọa độ của vecto đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng nền tảng kiến thức hình học giải tích. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng từ SGK Toán 10 Cánh diều, giúp học sinh nắm vững kiến thức một cách hiệu quả.
Trước khi đi sâu vào tọa độ của vectơ, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản về vectơ:
Hệ tọa độ Descartes là một hệ tọa độ hai chiều, bao gồm hai trục vuông góc nhau: trục hoành (Ox) và trục tung (Oy). Giao điểm của hai trục là gốc tọa độ (O).
Mỗi điểm trên mặt phẳng được xác định bởi một cặp số (x, y), gọi là tọa độ của điểm đó. x là hoành độ, y là tung độ.
Tọa độ của một vectơ được xác định bởi hiệu tọa độ của điểm cuối và điểm đầu của vectơ. Nếu A(xA, yA) và B(xB, yB) là hai điểm trên mặt phẳng, thì vectơ AB có tọa độ là (xB - xA, yB - yA).
Khi vectơ được biểu diễn bằng tọa độ, các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực được thực hiện như sau:
Tọa độ vectơ được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là:
Dưới đây là một số bài tập áp dụng từ SGK Toán 10 Cánh diều để bạn luyện tập:
Lý thuyết Tọa độ của vecto là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập.
| Khái niệm | Mô tả |
|---|---|
| Vectơ | Đoạn thẳng có hướng |
| Tọa độ vectơ | Hiệu tọa độ điểm cuối và điểm đầu |
