Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 8 trang 104 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập toán học.
Bài 8 thuộc chương trình học Toán 10 tập 2, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học.
Quan sát hình 64 và thực hiện các hoạt động sau:
Đề bài
Quan sát hình 64 và thực hiện các hoạt động sau:
a) Lập phương trình đường thẳng d
b) Lập phương trình đường tròn (C)
c) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {2 + \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm \(A\left( {{x_o};{y_o}} \right);B\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) là: \(\frac{{x - {x_o}}}{{{x_1} - {x_o}}} = \frac{{y - {y_o}}}{{{y_1} - {y_o}}}\)
b) Đường tròn có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính R có phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)
c) Cho điểm (\({M_o}\left( {{x_o};{\rm{ }}{y_o}} \right)\)) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R. Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến tại điểm \({M_o}\left( {{x_o};{\rm{ }}{y_o}} \right)\) thuộc đường tròn. Khi đó phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) là:
\(\left( {{x_o} - a} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + \left( {{y_o} - b} \right)\left( {y - {y_o}} \right) = 0\)
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng d đi qua hai điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\) nên phương trình đường thẳng d là: \(\frac{{x + 1}}{{2 + 1}} = \frac{{y - 1}}{{3 - 1}} \Leftrightarrow 2x - 3y + 5 = 0\)
b) Phương trình đường tròn (C) có tâm \(I\left( {2;1} \right)\) và \(R = 2\) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)
c) Gọi \({d_1}\) là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm \(M\left( {2 + \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \overrightarrow {IM} = \left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \({d_1}\) là:
\(\sqrt 2 \left( {x - 2 - \sqrt 2 } \right) + \sqrt 2 \left( {y - 1 - \sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 - 2\sqrt 2 = 0\)
Bài 8 trong SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm, trọng tâm của tam giác. Đây là một bài tập quan trọng giúp củng cố và nâng cao kỹ năng giải toán hình học bằng phương pháp vectơ.
Bài 8 bao gồm các câu hỏi và bài tập sau:
Để giải bài 8, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Gọi A, B, C là các vectơ vị trí của các đỉnh A, B, C. Khi đó, vectơ vị trí của trọng tâm G là G = (A + B + C) / 3.
Ta có:
GA = A - G = A - (A + B + C) / 3 = (2A - B - C) / 3
GB = B - G = B - (A + B + C) / 3 = (2B - A - C) / 3
GC = C - G = C - (A + B + C) / 3 = (2C - A - B) / 3
Do đó:
GA + GB + GC = ((2A - B - C) / 3) + ((2B - A - C) / 3) + ((2C - A - B) / 3) = (2A - A - A + 2B - B - B + 2C - C - C) / 3 = 0
Vậy GA + GB + GC = 0.
Vì M là trung điểm của BC, ta có MB + MC = 2MD, với D là trung điểm của BC.
Ta có MA = A - M, MB = B - M, MC = C - M, MG = G - M.
Do đó:
MA + MB + MC = (A - M) + (B - M) + (C - M) = A + B + C - 3M
Mặt khác, 3MG = 3(G - M) = 3((A + B + C) / 3 - M) = A + B + C - 3M
Vậy MA + MB + MC = 3MG.
Vì I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, ta có I là trung điểm của AC và BD.
Do đó, IA + IC = 0 và IB + ID = 0.
Vậy IA + IB + IC + ID = (IA + IC) + (IB + ID) = 0 + 0 = 0.
Bài 8 trang 104 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải bài tập Toán 10.
