Bài 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 2 trong chương VII của sách Toán 10 tập 2, Cánh diều, tập trung vào việc thiết lập và sử dụng các biểu thức tọa độ để thực hiện các phép toán vectơ. Đây là một bước quan trọng trong việc chuyển từ hình học vectơ sang đại số vectơ, cho phép chúng ta giải quyết các bài toán một cách chính xác và hiệu quả hơn.

1. Khái niệm cơ bản về tọa độ vectơ

Để hiểu rõ về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, trước tiên chúng ta cần nắm vững khái niệm về tọa độ vectơ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một vectơ a được xác định bởi hai điểm A(x_A, y_A) và B(x_B, y_B). Tọa độ của vectơ a, ký hiệu là a = (x; y), được tính bằng hiệu tọa độ của điểm cuối B trừ đi tọa độ của điểm đầu A:

x = x_B - x_A
y = y_B - y_A

Ví dụ: Cho A(1; 2) và B(3; 5). Khi đó, vectơ AB có tọa độ là AB = (3 - 1; 5 - 2) = (2; 3).

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Dựa trên tọa độ của vectơ, chúng ta có thể thiết lập các biểu thức tọa độ cho các phép toán cộng, trừ vectơ và phép nhân vectơ với một số thực:

a. Phép cộng vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂). Khi đó, vectơ tổng a + b có tọa độ là:

a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂)

b. Phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂). Khi đó, vectơ hiệu a - b có tọa độ là:

a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂)

c. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x; y) và một số thực k. Khi đó, vectơ ka có tọa độ là:

ka = (kx; ky)

3. Ví dụ minh họa

Cho a = (1; -2) và b = (3; 1). Hãy tính:

a + b = (1 + 3; -2 + 1) = (4; -1)
a - b = (1 - 3; -2 - 1) = (-2; -3)
2a = (2 * 1; 2 * -2) = (2; -4)

4. Ứng dụng của biểu thức tọa độ trong giải toán

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến chứng minh đẳng thức vectơ, tìm tọa độ điểm, xác định tính chất của các hình hình học. Việc sử dụng tọa độ giúp chúng ta chuyển đổi các bài toán hình học phức tạp thành các bài toán đại số đơn giản hơn, dễ dàng giải quyết hơn.