Lý thuyết Nhị thức Newton là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là với SGK Cánh diều. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết các bài toán về khai triển nhị thức, tính hệ số và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, chi tiết và dễ hiểu về Lý thuyết Nhị thức Newton, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
A. Lý thuyết 1. Một số công thức khai triển
A. Lý thuyết
1. Một số công thức khai triển
\({(a + b)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3{a^1}{b^3} + C_4^4{b^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4{a^1}{b^3} + {b^4}\). |
\({(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\) \( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\). |
Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton \({(a + b)^n}\) ứng với n = 4 và n = 5.
2. Công thức khai triển tổng quát
| \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\). |
Nhận xét:
- Số hạng tổng quát trong khai triển của \({(a + b)^n}\) đều có dạng \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) \((0 \le k \le n)\).
- Từ công thức nhị thức Newton nói trên, ta có khai triển của \({(a - b)^n}\) như sau:
\({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...\), ở đó các dấu “+”, “-“ xen kẽ nhau.
Ví dụ: \({(a - b)^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^{3 - 1}}b + C_3^2{a^{3 - 2}}{b^2} - C_3^3{a^{3 - 3}}{b^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} - C_3^3{b^3}\).
Có thể xem thêm trong chuyên đề học tập Toán 10.
B. Bài tập
Bài 1: Khai triển biểu thức \({(x + 1)^4}\).
Giải:
Xác định số hạng: a = x, b = 1.
\({(x + 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.1 + C_4^2{x^2}{.1^2} + C_4^3{x^1}{.1^3} + C_4^4{.1^4} = {a^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).
Bài 2: Khai triển biểu thức \({(x - 1)^4}\).
Giải:
Có hai cách khai triển, tùy thuộc vào việc đặt b = -1 hay b = 1.
Nếu coi a = x, b = -1:
\({(x - 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.( - 1) + C_4^2{x^2}.{( - 1)^2} + C_4^3{x^1}.{( - 1)^3} + C_4^4.{( - 1)^4} = {a^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).
Hoặc có thể coi a = x, b = 1 và áp dụng công thức khai triển tổng quát:
\({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...\), khi đó sẽ nhận được kết quả như trên (xen kẽ dấu).
Bài 3:
a) Khai triển biểu thức \({(x - 2y)^4}\) và tìm hệ số của số hạng chứa \({y^4}\).
b) Khai triển biểu thức \({(3x - y)^5}\).
Giải:
a) Coi a = x, b = -2y.
\({(x - 2y)^4} = {\left[ {x + ( - 2y)} \right]^4} = {x^4} + 4{x^3}( - 2y) + 6{x^2}{( - 2y)^2} + 4x{( - 2y)^3} + {( - 2y)^4}\)
\( = {x^4} - 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} - 32x{y^3} + 16{y^4}\).
Số hạng chứa \({y^4}\) là \(16{y^4}\), hệ số là 16.
b) Coi a = 3x, b = -y.
\({(3x - y)^5} = {\left[ {3x + ( - y)} \right]^5}\)
\( = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{(3x)^4}.( - y) + 10{(3x)^3}.{( - y)^2} + 10{(3x)^2}.{( - y)^3} + 5.(3x).{( - y)^4} + {( - y)^5}\)
\( = 243{x^5} - 405{x^4}y + 270{x^3}{y^2} - 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} - {y^5}\).
Bài 4:
a) Xác định hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {2x + 1} \right)^{12}}\).
b) Xác định hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^{18}}\).
Giải:
a) Số hạng chứa \({x^6}\) là \(C_{12}^6.{\left( {2x} \right)^6} = C_{12}^6{.2^6}{x^6}\). Hệ số của \({x^6}\) là \(C_{12}^6{.2^6}\).
b) Số hạng chứa \({x^9}\) là \(C_{18}^9.{\left( {3x} \right)^9}.{( - 2)^9} = C_{18}^9.{( - 2)^9}{3^9}{x^9} = - C_{18}^9{.2^9}{3^9}{x^9}\). Hệ số của \({x^9}\) là \( - C_{18}^9{.2^9}{3^9} = - C_{18}^9{.6^9}\).
Lý thuyết Nhị thức Newton là một công cụ mạnh mẽ trong đại số, cho phép chúng ta khai triển biểu thức (a + b)^n một cách hiệu quả, đặc biệt khi n là một số nguyên dương lớn. Trong chương trình Toán 10, SGK Cánh diều trình bày lý thuyết này một cách hệ thống và dễ tiếp cận.
Với mọi số nguyên dương n, ta có:
(a + b)^n = Cn0anb0 + Cn1an-1b1 + Cn2an-2b2 + ... + Cnna0bn
Trong đó, Cnk là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức:
Cnk = n! / (k! * (n-k)!)
Tam giác Pascal là một công cụ trực quan để tính toán các hệ số nhị thức. Mỗi hàng của tam giác Pascal tương ứng với một giá trị của n, và các số trong hàng đó là các hệ số Cnk.
| n | Hệ số |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1, 1 |
| 2 | 1, 2, 1 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 |
Lý thuyết Nhị thức Newton có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Bài 1: Khai triển (x + 2)^3
Áp dụng Lý thuyết Nhị thức Newton, ta có:
(x + 2)^3 = C30x320 + C31x221 + C32x122 + C33x023
= 1*x3*1 + 3*x2*2 + 3*x*4 + 1*1*8
= x3 + 6x2 + 12x + 8
Lý thuyết Nhị thức Newton có thể được mở rộng cho các số mũ không nguyên, nhưng điều này đòi hỏi kiến thức về giải tích. Khi làm bài tập, cần chú ý đến các tính chất của hệ số nhị thức và sử dụng Tam giác Pascal một cách hiệu quả để đơn giản hóa quá trình tính toán.
Để hiểu sâu hơn về Lý thuyết Nhị thức Newton, bạn có thể tham khảo:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Nhị thức Newton - SGK Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
