Bài học về Tích của một số với một vecto là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh hiểu rõ hơn về các phép toán trên vecto và ứng dụng trong giải quyết các bài toán hình học.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, giúp bạn tự tin chinh phục kiến thức Toán 10.
A. Lý thuyết 1. Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho số thực \(k \ne 0\) và vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \). Tích của số k với vecto \(\overrightarrow a \) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), được xác định như sau: +) Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu k > 0, ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu k < 0. +) Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\). |
Quy ước: \(0\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \), \(k\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \).
Phép lấy tích của một số với một vecto gọi là phép nhân một số với một vecto.
2. Tính chất
Với hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực h, k, ta có: +) \(k\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b \); \(k\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \) +) \((h + k)\overrightarrow a = h\overrightarrow a + k\overrightarrow a \) +) \(h\left( {k\overrightarrow a } \right) = \left( {hk} \right)\overrightarrow a \) +) \(1\overrightarrow a = \overrightarrow a \); \(( - 1)\overrightarrow a = - \overrightarrow a \) |
Nhận xét: \(k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi k = 0 hoặc \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \).
3. Một số ứng dụng
a) Trung điểm của đoạn thẳng
| Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với điểm M bất kì. |
b) Trọng tâm của tam giác
| Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \) với điểm M bất kì. |
c) Điều kiện để hai vecto cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Điều kiện cần và đủ để hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) \(\left( {\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 } \right)\) cùng phương là có một số thực k để \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \). Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là có số thực k để \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \). |
Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) có duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn \(\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b \).
B. Bài tập
Bài 1: Cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Tìm số k trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow {CA} = k\overrightarrow {CB} \).
b) \(\overrightarrow {CA} = k\overrightarrow {AB} \).
Giải:
a) Ta có \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) là hai vecto cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {CB} } \right|\).
Suy ra \(\overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow {CB} \). Vậy k = 2.
b) Ta có \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} \) là hai vecto ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\).
Suy ra \(\overrightarrow {CA} = - 2\overrightarrow {AB} \). Vậy k = -2.
Bài 2: Vật chuyển động thẳng đều từ A đến B với tốc độ là 9 m/s và vật thứ hai chuyển động thẳng đều từ B đến A với tốc độ là 6 m/s. Gọi \(\overrightarrow {{v_1}} \), \(\overrightarrow {{v_2}} \) lần lượt là các vecto vận tốc của vật thứ nhất và vật thứ hai. Có hay không số thực k thỏa mãn \(\overrightarrow {{v_1}} = k\overrightarrow {{v_2}} \)?
Giải:
Do tỉ số tốc độ của vật thứ nhất và vật thứ hai là \(\frac{9}{6} = \frac{3}{2}\) đồng thời hai vật chuyển động ngược hướng nên hai vecto vận tốc ngược hướng.
Suy ra \(\overrightarrow {{v_1}} = \frac{{ - 3}}{2}\overrightarrow {{v_2}} \). Vậy \(k = - \frac{3}{2}\).
Bài 3: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh:
a) \(2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AC} \).
b) \(3\left( {5\overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {CB} - 14\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \).
Giải:
a) Ta có: \(2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} = 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 2\overrightarrow {AC} \).
b) Ta có:
\(3\left( {5\overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {CB} - 14\overrightarrow {AC} = 15\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} - 14\overrightarrow {AC} = 15\overrightarrow {AC} - 14\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
Bài 4: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
Giải:
Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} \).
Vì N là trung điểm của CD nên \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \).
Suy ra \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GN} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).
Bài 5: Cho tam giác OAB. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho \(AM = \frac{2}{3}AB\). Kẻ MH // OB, MK // OA. Giả sử \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \).
a) Biểu thị \(\overrightarrow {OH} \) theo \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {OK} \) theo \(\overrightarrow b \).
b) Biểu thị \(\overrightarrow {OM} \) theo \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
Giải:
a) Ta có: MK // OA, MH // OB suy ra \(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\), \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).
Vì \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {OH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} = \frac{1}{3}\overrightarrow a \).
Vì \(\overrightarrow {OK} \) và \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {OK} = \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} = \frac{2}{3}\overrightarrow b \).
b) Vì tứ giác OHMK là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b \).
Trong chương trình Toán 10, phần học về Vectơ đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng kiến thức hình học. Một trong những khái niệm cơ bản và cần thiết nhất là Tích của một số với một Vectơ. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, ví dụ minh họa và các bài tập ứng dụng liên quan đến chủ đề này, dựa trên sách giáo khoa Toán 10 Cánh diều.
Cho vectơ a và một số thực k. Tích của số k với vectơ a, ký hiệu là k.a, là một vectơ cùng hướng với a nếu k > 0 và ngược hướng với a nếu k < 0. Độ dài của vectơ k.a bằng |k| lần độ dài của vectơ a.
Công thức:
Phép nhân vectơ với một số thỏa mãn các tính chất sau:
Ví dụ 1: Cho vectơ a có độ dài là 3 và hướng theo chiều dương của trục Ox. Tính vectơ 2.a và -3.a.
Giải:
Ví dụ 2: Cho hai vectơ a và b cùng phương, ngược chiều nhau và có độ dài lần lượt là 2 và 5. Tính 3.a - 2.b.
Giải:
Vì a và b cùng phương, ngược chiều nhau nên b = -ka với k > 0. Ta có |b| = 5 và |a| = 2, suy ra 5 = k * 2, do đó k = 2.5. Vậy b = -2.5a.
3.a - 2.b = 3.a - 2(-2.5a) = 3.a + 5.a = 8.a
Để củng cố kiến thức về Tích của một số với một Vectơ, bạn có thể thực hành các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Tích của một số với một Vectơ trong chương trình Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
