Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - SGK Toán 10 Cánh diều

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình Toán 10 Cánh diều.

Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản nhất về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, bao gồm định nghĩa, các tính chất và cách giải.

I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn II. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm

+) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là BPT có một trong các dạng

\(ax + by \le c\;;ax + by \ge c;ax + by < c;ax + by > c\) trong đó a, b, c là những số cho trước, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn.

Ví dụ: \(2x + 3y > 10\)

2. Nghiệm

+) Mỗi cặp số \(({x_0};{y_0})\) thỏa mãn \(a{x_0} + b{y_0} + c\; < 0\)được gọi là một nghiệm của BPT đã cho.

Ví dụ: cặp số \((3;5)\) là một nghiệm của BPT \(2x + 3y > 10\) vì \(2.3 + 3.5 = 21 > 10\)

II. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Cách biểu diễn miền nghiệm của BPT \(ax + by < c\)

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d:ax + by = c\).

Bước 2: Lấy \(M({x_0};{y_0})\) không thuộc \(d\). Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh với c.

Bước 3: Kết luận

- Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng (không kể d) chứa điểm \(M\)là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

- Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì nửa mặt phẳng (không kể d) không chứa điểm \(M\)là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

* Chú ý:

- Nếu \(c \ne 0\) ta thường chọn \(M\) là gốc tọa độ.

- Nếu \(c = 0\) ta thường chọn \(M\) có tọa độ \((1;0)\) hoặc \((0;1).\)

- Với BPT \(a{x_0} + b{y_0} + c \le 0\) hoặc \(a{x_0} + b{y_0} + c \ge 0\) thì miền nhiệm là nửa mặt phẳng kể cả đường thẳng d.

Khởi đầu hành trình Toán THPT vững vàng với nội dung Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - SGK Toán 10 Cánh diều trong chuyên mục toán lớp 10 trên nền tảng toán math! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 10 hiện hành, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ củng cố kiến thức cốt lõi mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho các năm học tiếp theo và định hướng đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - SGK Toán 10 Cánh diều

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong chương trình Cánh diều. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình này là nền tảng vững chắc cho việc học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn.

1. Định nghĩa Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng:

ax + by < c hoặc ax + by ≤ c hoặc ax + by > c hoặc ax + by ≥ c

Trong đó:

a và b là các số thực khác đồng thời bằng 0.
x và y là các ẩn số.
c là một số thực.

2. Tập nghiệm của Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn bất phương trình.

Để biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ, ta thực hiện các bước sau:

Vẽ đường thẳng ax + by = c.
Xác định miền nghiệm dựa vào dấu của bất phương trình:

Nếu bất phương trình là ax + by < c hoặc ax + by ≤ c, miền nghiệm là nửa mặt phẳng (bao gồm hoặc không bao gồm đường thẳng) nằm dưới đường thẳng nếu b > 0 hoặc nằm trên đường thẳng nếu b < 0.
Nếu bất phương trình là ax + by > c hoặc ax + by ≥ c, miền nghiệm là nửa mặt phẳng (bao gồm hoặc không bao gồm đường thẳng) nằm trên đường thẳng nếu b > 0 hoặc nằm dưới đường thẳng nếu b < 0.

3. Các tính chất của Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Một số tính chất quan trọng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Nếu ax + by ≤ c thì k(ax + by) ≤ kc với k > 0.
Nếu ax + by ≤ c thì ax + by ≥ kc với k < 0.
Nếu (x₁; y₁) và (x₂; y₂) là các nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c thì (x₁ + x₂; y₁ + y₂) không nhất thiết là nghiệm của bất phương trình.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x + y ≤ 4

Giải:

Vẽ đường thẳng 2x + y = 4.
Chọn điểm (0; 0) để kiểm tra. Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình, ta có 2(0) + 0 ≤ 4, điều này đúng.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm (0; 0).

Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình x - 3y > 2

Giải:

Vẽ đường thẳng x - 3y = 2.
Chọn điểm (0; 0) để kiểm tra. Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình, ta có 0 - 3(0) > 2, điều này sai.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm (0; 0).

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Giải các bất phương trình: 3x + 2y ≤ 6, x - y > 1, 2x + 5y ≥ 10.
Xác định miền nghiệm của các bất phương trình: 4x - y < 5, x + 2y ≤ 3, 3x - 2y ≥ 1.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - SGK Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!