Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình đường thẳng trong chương trình Toán 10 Cánh diều tại giaibaitoan.com. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức nền tảng, các định nghĩa, công thức quan trọng và ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về chủ đề này.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập trực tuyến hiệu quả, với nội dung được trình bày một cách dễ hiểu và logic. Hãy cùng bắt đầu khám phá thế giới của phương trình đường thẳng!
A. Lý thuyết 1. Phương trình tham số của đường thẳng a) Vecto chỉ phương của đường thẳng
A. Lý thuyết
1. Phương trình tham số của đường thẳng
a) Vecto chỉ phương của đường thẳng
| Vecto \(\overrightarrow u \) được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và giá của vecto \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với \(\Delta \). |
Nhận xét:
- Nếu \(\overrightarrow u \) là một vecto chỉ phương của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \) \((k \ne 0)\) cũng là một vecto chỉ phương của \(\Delta \).
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto chỉ phương của đường thẳng đó.
b) Phương trình tham số của đường thẳng
| Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + at\end{array} \right.\) (\({a^2} + {b^2} > 0\) và t là tham số) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}({x_0};{y_0})\) và nhận \(\overrightarrow u = (a;b)\) làm vecto chỉ phương. |
Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng \(\Delta \). Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng \(\Delta \), ta xác định được một giá trị cụ thể của t.
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
a) Vecto pháp tuyến của đường thẳng
| Vecto \(\overrightarrow n \) được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) và giá của vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\Delta \). |
Nhận xét:
- Nếu \(\overrightarrow n \) là một vecto pháp tuyến của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow n \) \((k \ne 0)\) cũng là một vecto pháp tuyến của \(\Delta \).
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto pháp tuyến của đường thẳng đó.
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng
| Phương trình \(ax + by + c = 0\) (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. |
Nhận xét:
- Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}({x_0};{y_0})\) và nhận \(\overrightarrow n = (a;b)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0 \Leftrightarrow ax + by + ( - a{x_0} - b{y_0}) = 0\).
- Mỗi phương trình \(ax + by + c = 0\) (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng \(\Delta \) trong mặt phẳng tọa độ nhận một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (a;b)\).
c) Những dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
- Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát \(ax + by + c = 0\) (a hoặc b khác 0) là đồ thị hàm số bậc nhất khi và chỉ khi \(a \ne 0\) và \(b \ne 0\).
- Phương trình trục hoành là y = 0, phương trình trục tung là x = 0.
3. Lập phương trình đường thẳng
Khi lập phương trình đường thẳng, ta thường gặp ba trường hợp như sau:
– Đi qua một điểm cho trước và biết vecto pháp tuyến.
– Đi qua một điểm cho trước và biết vecto chỉ phương.
– Đi qua hai điểm cho trước.
a) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến
| Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}({x_0};{y_0})\) và nhận \(\overrightarrow n = (a;b)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\). |
b) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vecto chỉ phương
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}({x_0};{y_0})\) và nhận \(\overrightarrow u = (a;b)\) \((\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 )\) làm vecto chỉ phương là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) (t là tham số). Nếu \(a \ne 0\) và \(b \ne 0\) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) ở dạng: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\). |
c) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A({x_A};{y_A})\), \(B({x_B};{y_B})\) nên nhận vecto \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\) làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} + ({x_B} - {x_A})t\\y = {y_A} + ({y_B} - {y_A})t\end{array} \right.\) (t là tham số). Nếu \({x_B} - {x_A} \ne 0\) và \({y_B} - {y_A} \ne 0\) thì ta có thể viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) dưới dạng: \(\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}}\). |
4. Phương trình đoạn chắn
Đường thẳng \(\Delta \) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a;0) và B(0;b) có phương trình đoạn chắn là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) \((ab \ne 0)\). |
B. Bài tập
Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) thỏa mãn:
a) Đi qua M(-2;-3) và có \(\overrightarrow n = (2;5)\) là vecto pháp tuyến.
b) Đi qua M(3;-5) và có \(\overrightarrow u = (2; - 4)\) là vecto chỉ phương.
c) Đi qua A(-3;4) và B(1;-1).
Giải:
a) Phương trình \(\Delta \) là \(2(x + 2) + 5(y + 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y + 19 = 0\).
b) Phương trình \(\Delta \) là \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\).
c) Phương trình \(\Delta \) là \(\frac{{x + 3}}{{1 - ( - 3)}} = \frac{{y - 4}}{{ - 1 - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow 5x + 4y - 1 = 0\).
Phương trình đường thẳng là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học giải tích lớp 10. Việc nắm vững lý thuyết này là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến đường thẳng, khoảng cách, và các khái niệm hình học khác.
Một phương trình có dạng ax + by + c = 0 được gọi là phương trình đường thẳng nếu a và b không đồng thời bằng 0. Trong đó:
Mỗi điểm M(x0; y0) thỏa mãn phương trình ax0 + by0 + c = 0 được gọi là một điểm thuộc đường thẳng.
Có nhiều dạng phương trình đường thẳng khác nhau, mỗi dạng phù hợp với từng trường hợp cụ thể:
Hệ số góc k của đường thẳng ax + by + c = 0 được tính bằng công thức: k = -a/b (với b ≠ 0). Hệ số góc cho biết độ dốc của đường thẳng so với trục hoành.
Cho hai đường thẳng có phương trình:
Khi đó:
Khoảng cách d từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ax + by + c = 0 được tính bằng công thức:
d = |ax0 + by0 + c| / √(a2 + b2)
Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và có hệ số góc k = 3.
Giải: Sử dụng dạng điểm - dốc, ta có phương trình đường thẳng là: y - 2 = 3(x - 1) ⇔ y - 2 = 3x - 3 ⇔ 3x - y - 1 = 0
Ví dụ 2: Tìm khoảng cách từ điểm B(0; 1) đến đường thẳng 2x + y - 5 = 0.
Giải: Sử dụng công thức tính khoảng cách, ta có: d = |2(0) + 1 - 5| / √(22 + 12) = |-4| / √5 = 4/√5 = (4√5)/5
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về lý thuyết Phương trình đường thẳng - SGK Toán 10 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
