Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác

Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác - Giải chi tiết

Bài 1 trong chương IV của sách Toán 10 Cánh diều tập 1 tập trung vào việc củng cố kiến thức về giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ, cùng với hai định lý quan trọng trong hình học: định lý cosin và định lý sin. Việc nắm vững những kiến thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác trong chương trình học.

I. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

Trong hình học, giá trị lượng giác của một góc α (0° ≤ α ≤ 180°) được định nghĩa thông qua tỉ số giữa các cạnh của một tam giác vuông. Các giá trị lượng giác cơ bản bao gồm sin, cos, tan và cot.

• Sin (α): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.
• Cos (α): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
• Tan (α): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề.
• Cot (α): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối.

Cần lưu ý rằng giá trị của các hàm lượng giác thay đổi tùy thuộc vào góc α. Ví dụ, sin(0°) = 0, cos(0°) = 1, tan(0°) = 0, và các giá trị này thay đổi khi α tăng từ 0 đến 180 độ.

II. Định lý cosin

Định lý cosin là một công cụ mạnh mẽ để tính toán các cạnh và góc trong một tam giác bất kỳ. Định lý này phát biểu rằng:

Trong tam giác ABC, ta có:

• a² = b² + c² - 2bc.cosA
• b² = a² + c² - 2ac.cosB
• c² = a² + b² - 2ab.cosC

Trong đó, a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, và A, B, C là các góc đối diện với các cạnh tương ứng.

III. Định lý sin

Định lý sin cũng là một công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác. Định lý này phát biểu rằng:

Trong tam giác ABC, ta có:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

Trong đó, a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, và A, B, C là các góc đối diện với các cạnh tương ứng.

IV. Ứng dụng của định lý cosin và định lý sin

Định lý cosin và định lý sin được sử dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến tam giác, chẳng hạn như:

• Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa.
• Tính góc của một tam giác khi biết độ dài ba cạnh.
• Giải tam giác (tính tất cả các cạnh và góc).

V. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, góc BAC = 60°. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lý cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosBAC

BC² = 5² + 7² - 2.5.7.cos60°

BC² = 25 + 49 - 70.0.5

BC² = 39

BC = √39 ≈ 6.24cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 8cm, BC = 10cm, AC = 6cm. Tính góc BAC.

Giải:

Áp dụng định lý cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosBAC

10² = 8² + 6² - 2.8.6.cosBAC

100 = 64 + 36 - 96.cosBAC

0 = -96.cosBAC

cosBAC = 0

BAC = 90°

VI. Kết luận

Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác là một phần quan trọng của chương trình Toán 10. Việc nắm vững các khái niệm, công thức và phương pháp giải bài tập liên quan đến chủ đề này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp.