Bài viết này cung cấp đầy đủ lý thuyết về giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ, bao gồm các khái niệm cơ bản, công thức và ứng dụng. Bên cạnh đó, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu Định lý Cosin và Định lý Sin trong tam giác, những công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác.
Nội dung được trình bày chi tiết, dễ hiểu, phù hợp với chương trình SGK Toán 10 Cánh Diều, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải bài tập.
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180 II. ĐỊNH LÍ COSIN III. ĐỊNH LÍ SIN
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180
1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180
+) Với mỗi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha {\rm{\;}} \le {180^o})\) có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị để \(\widehat {xOM} = \alpha .\)Khi đó:
\(\sin \alpha {\rm{\;}} = {y_0}\) là tung độ của M
\(\cos \alpha {\rm{\;}} = {x_0}\) là hoành độ của M
\(\tan \alpha {\rm{\;}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha {\rm{\;}} \ne {90^o})\)
\(\cot \alpha {\rm{\;}} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha {\rm{\;}} \ne {0^o},\alpha {\rm{\;}} \ne {180^o})\)
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Hai góc bù nhau, \(\alpha \) và \({180^o} - \alpha \): \(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha }\\{\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \cos \alpha }\\{\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \tan \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o})}\\{\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \cot \alpha ({0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\end{array}\) | Hai góc phụ nhau, \(\alpha \) và \({90^o} - \alpha \): \(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha }\\{\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha }\\{\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\\{\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\end{array}\) |
3. Các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
II. ĐỊNH LÍ COSIN
1. Định lí cosin
Trong tam giác ABC:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A}\\{{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B}\\{{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C}\end{array}\)
2. Hệ quả
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
III. ĐỊNH LÍ SIN
1. Định lí sin
Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\)
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
2. Hệ quả
Hệ quả
\(a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C\)
\(\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.\)
Trong hình học, giá trị lượng giác của một góc là tỷ số giữa các cạnh của một tam giác vuông. Đối với một góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta định nghĩa các giá trị lượng giác sau:
Lưu ý:
| Góc α | Sin α | Cos α | Tan α | Cot α |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | Không xác định |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 |
| 90° | 1 | 0 | Không xác định | 0 |
Trong tam giác ABC, ta có:
Ứng dụng:
Trong tam giác ABC, ta có:
a/sinA = b/sinB = c/sinC
Ứng dụng:
Các giá trị lượng giác và định lý Cosin, Sin có mối quan hệ mật thiết với nhau. Việc hiểu rõ mối quan hệ này giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả hơn.
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 8cm, góc BAC = 60°. Tính độ dài cạnh BC.
Giải:
Áp dụng định lý Cosin, ta có:
BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosBAC
BC² = 5² + 8² - 2.5.8.cos60°
BC² = 25 + 64 - 80.1/2
BC² = 49
BC = 7cm
Lý thuyết về giá trị lượng giác và các định lý Cosin, Sin là nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 10. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác một cách dễ dàng và hiệu quả.
