Bài 3. Hàm số liên tục

Bài 3. Hàm số liên tục - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 3 trong chương trình Toán 11 tập 1, sách Cánh diều, tập trung vào một khái niệm nền tảng của giải tích: hàm số liên tục. Hiểu rõ về tính liên tục của hàm số là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc học tập ở bậc trung học phổ thông mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong toán học.

1. Khái niệm hàm số liên tục tại một điểm

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

1. Hàm số f(x) xác định tại x₀, tức là f(x₀) có nghĩa.
2. Tồn tại giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀, ký hiệu là lim_x→x0f(x).
3. Giá trị của hàm số tại x₀ bằng giới hạn của hàm số khi x tiến tới x₀, tức là f(x₀) = lim_x→x0f(x).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

3. Các tính chất của hàm số liên tục

• Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
• Thương của hai hàm số liên tục (với mẫu số khác 0) là một hàm số liên tục.
• Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

4. Ứng dụng của hàm số liên tục

Tính liên tục của hàm số có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, ví dụ:

• Chứng minh sự tồn tại của nghiệm của phương trình.
• Giải quyết các bài toán tối ưu hóa.
• Mô tả các hiện tượng vật lý và kỹ thuật.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Xét hàm số f(x) = x² + 1. Chứng minh hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc tập số thực.

Giải:

Để chứng minh hàm số liên tục tại một điểm x₀, ta cần chứng minh:

1. f(x₀) xác định.
2. lim_x→x0 f(x) tồn tại.
3. f(x₀) = lim_x→x0 f(x).

Vì f(x) = x² + 1 là một đa thức, nên nó xác định tại mọi điểm thuộc tập số thực. Hơn nữa, giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀ là:

lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 (x² + 1) = x₀² + 1 = f(x₀).

Vậy, hàm số f(x) = x² + 1 liên tục tại mọi điểm thuộc tập số thực.

Bài tập 2: Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này liên tục tại những điểm nào?

Giải:

Hàm số f(x) = 1/x không xác định tại x = 0. Do đó, hàm số không liên tục tại x = 0. Với mọi x ≠ 0, hàm số liên tục vì nó là một hàm hữu tỉ và mẫu số khác 0.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hàm số liên tục, các em nên làm thêm nhiều bài tập khác nhau. giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn trong các kỳ thi.

7. Kết luận

Bài 3. Hàm số liên tục là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc hiểu rõ khái niệm, tính chất và ứng dụng của hàm số liên tục sẽ giúp các em giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học tiếp theo.