Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Hàm số liên tục trong chương trình Toán 11 Cánh Diều. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức nền tảng, định nghĩa, tính chất và các ví dụ minh họa giúp bạn hiểu rõ về hàm số liên tục.
Giaibaitoan.com tự hào là nền tảng học toán online uy tín, cung cấp tài liệu học tập chất lượng và hỗ trợ học sinh ôn tập hiệu quả.
I. Khái niệm
I. Khái niệm
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\), \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\)nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).
Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).
* Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.
III. Một số định lí cơ bản
1. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản
- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \) và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:
a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(g({x_0}) \ne 0\).
Hàm số liên tục là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong chương trình Cánh Diều. Việc nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp bạn giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
Nói cách khác, đồ thị của hàm số liên tục tại x0 không có khoảng trống, gián đoạn hay bước nhảy.
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Một số hàm số thường được coi là liên tục trên toàn bộ tập xác định của chúng:
Hàm số liên tục có một số tính chất quan trọng:
Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác:
Ví dụ 1: Hàm số f(x) = x2 + 1 là hàm đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ tập số thực.
Ví dụ 2: Hàm số f(x) = 1/x là hàm phân thức hữu tỷ. Nó liên tục trên khoảng (-∞; 0) và (0; +∞), nhưng không liên tục tại x = 0.
Để củng cố kiến thức về hàm số liên tục, bạn có thể thực hiện các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
