Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Tính (lim left( { - {n^3}} right).)
Quan sát dãy số \((u_n)\) với \(u_n = n^2\) và cho biết giá trị của n có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Phương pháp giải:
Xác định các giá trị của dãy số dựa vào công thức tính số hạng tổng quát.
Lời giải chi tiết:
Ta có bảng giá trị sau:
n | 1 | 2 | 3 | ... | 100 | ... | 1001 |
\(u_n\) | 1 | 4 | 9 | ... | 10 000 | ... | 1 002 001 |
Từ đó ta có các nhận xét sau:
+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì \(u_n > 1\) .
+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì \(u_n > 10 000\).
...
Vậy ta thấy \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Tính \(\lim \left( { - {n^3}} \right).\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực.
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \) khi \(n \to + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \) hay \({u_n} \to + \infty \) khi \(n \to + \infty \).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \) khi \(n \to + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty \) hay \({u_n} \to - \infty \) khi \(n \to + \infty \).
Lời giải chi tiết:
Xét dãy \(\left( {{u_n}} \right) = {n^3}\)
Với M là số dương bất kì, ta thấy \({u_n} > M \Leftrightarrow {n^3} > M \Leftrightarrow n > \sqrt[3]{M}.\)
Vậy với các số tự nhiên \(n > \sqrt[3]{M}\) thì \({u_n} > M.\) Do đó, \(\lim {n^3} = + \infty \Rightarrow \lim \left( { - {n^3}} \right) = - \infty \)
Chứng tỏ rằng \(\lim \frac{{n - 1}}{{{n^2}}} = 0.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng lý thuyết một số giới hạn cơ bản: \(\lim \frac{1}{n} = 0;\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương cho trước.
Lời giải chi tiết:
\(\lim \frac{{n - 1}}{{{n^2}}} = \lim \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim \frac{1}{n} - \lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)
Mục 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép biến hình affine để giải quyết các bài toán hình học. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh xác định phép biến hình affine, tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép biến hình affine, và chứng minh các tính chất liên quan.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định các hệ số của phép biến hình affine dựa trên thông tin về ảnh của một số điểm. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của phép biến hình affine và cách biểu diễn phép biến hình affine bằng ma trận.
Ví dụ, cho phép biến hình affine f(x) = Ax + b, trong đó A là ma trận 2x2 và b là vector 2x1. Biết rằng f(1, 0) = (2, 1) và f(0, 1) = (1, 2), hãy xác định ma trận A và vector b.
Bài tập này yêu cầu học sinh tìm tọa độ của ảnh của một điểm cho trước qua một phép biến hình affine đã cho. Để giải bài tập này, học sinh cần áp dụng công thức biến hình affine để tính tọa độ của ảnh.
Ví dụ, cho phép biến hình affine f(x) = 2x + (1, -1) và điểm M(2, 3). Hãy tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của M qua phép biến hình f.
Áp dụng công thức biến hình affine, ta có M' = f(M) = 2(2, 3) + (1, -1) = (4, 6) + (1, -1) = (5, 5).
Bài tập này yêu cầu học sinh chứng minh các tính chất của phép biến hình affine, chẳng hạn như phép biến hình affine bảo toàn tính thẳng hàng của các điểm, bảo toàn tỷ số độ dài của các đoạn thẳng, và bảo toàn diện tích của các hình.
Để chứng minh các tính chất này, học sinh cần sử dụng định nghĩa của phép biến hình affine và các tính chất của ma trận.
Phép biến hình affine có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như trong đồ họa máy tính, xử lý ảnh, và robot học. Trong đồ họa máy tính, phép biến hình affine được sử dụng để thực hiện các phép biến đổi hình ảnh như xoay, co giãn, và dịch chuyển. Trong xử lý ảnh, phép biến hình affine được sử dụng để căn chỉnh và biến đổi các ảnh. Trong robot học, phép biến hình affine được sử dụng để mô tả vị trí và hướng của các robot.
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
