Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1. Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 1 trong chương 3 của sách Toán 11 tập 1, Cánh diều, tập trung vào việc giới thiệu khái niệm giới hạn của dãy số. Đây là một khái niệm then chốt để hiểu về sự hội tụ và phân kỳ của dãy số, đồng thời là nền tảng cho việc nghiên cứu về giới hạn hàm số và đạo hàm trong các chương sau.

1. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu khi n tiến tới vô cùng, các số hạng của dãy số tiến gần đến L. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Để hiểu rõ hơn, ta xét ví dụ:

Dãy số u_n = 1/n có giới hạn là 0 khi n tiến tới vô cùng.
Dãy số u_n = n có giới hạn là vô cùng khi n tiến tới vô cùng.

2. Các tính chất của giới hạn

Có một số tính chất quan trọng của giới hạn dãy số mà các em cần nắm vững:

Giới hạn của tổng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
Giới hạn của tích: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
Giới hạn của thương: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

3. Các dạng giới hạn thường gặp

Trong quá trình giải toán, các em sẽ thường gặp các dạng giới hạn sau:

Giới hạn bằng 0: lim_n→∞ u_n = 0
Giới hạn bằng một số hữu hạn khác 0: lim_n→∞ u_n = L (L ≠ 0)
Giới hạn vô cùng: lim_n→∞ u_n = +∞ hoặc lim_n→∞ u_n = -∞

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3)

Giải:

lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 - 3/n) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ (1 - 1/n²)

Giải:

lim_n→∞ (1 - 1/n²) = 1 - lim_n→∞ 1/n² = 1 - 0 = 1

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về giới hạn của dãy số, các em nên luyện tập thường xuyên các bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các định nghĩa, tính chất và các dạng giới hạn thường gặp.