Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học giải tích hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{2},) C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{4},...) Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{{{2^n}}},...) (Hình 4). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB. a) Tính pn, Sn. b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
Đề bài
Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{2},\), C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{4},...\)
Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB.
a) Tính pn, Sn.
b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chu vi hình tròn \(C = \pi d\)
Diện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}\)
Lời giải chi tiết
a) Vì Cn là nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{{{2^n}}}\) nên ta có \({p_n} = \frac{1}{2}{.2^n}.\frac{{AB}}{{{2^n}}}.\pi = {2^n}.\frac{R}{{{2^n}}}.\pi = \pi R\)
Đường kính \(\frac{{AB}}{{{2^n}}} = \frac{{2R}}{{{2^n}}}\) nên bánh kính \(\frac{R}{{{2^n}}}\)
\({S_n} = {2^n}.{\left( {\frac{R}{{{2^n}}}} \right)^2}.\frac{\pi }{2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}.\frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{n + 1}}}}\)
b) \(\begin{array}{l}\lim {p_n} = \lim \left( {\pi R} \right) = \pi R\\\lim {S_n} = \lim \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{n + 1}}}} = \lim \left[ {\frac{{\pi {R^2}}}{2}.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim \frac{{\pi {R^2}}}{2}.\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\end{array}\)
Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm về tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và cách sử dụng đạo hàm để xác định tính đơn điệu.
Bài tập yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên các khoảng được chỉ định:
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Đạo hàm của hàm số là y' = 3x2 - 3.
Giải phương trình y' = 0, ta được x = ±1.
Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | - | + |
| y | ↗ | max | min | ↗ |
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên (-∞; -1) và (1; +∞).
Đạo hàm của hàm số là y' = -3x2 + 6x.
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 và x = 2.
Lập bảng biến thiên:
| x | 0 | 2 |
|---|---|---|
| y' | 0 | 0 |
| y | ↗ | ↘ |
Trên khoảng (0; 2), y' > 0, do đó hàm số đồng biến trên (0; 2).
Đạo hàm của hàm số là y' = 2x - 4.
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 2.
Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | 2 |
|---|---|---|
| y' | - | 0 |
| y | ↘ | min |
Trên khoảng (-∞; 2), y' < 0, do đó hàm số nghịch biến trên (-∞; 2).
Thông qua việc giải chi tiết Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, chúng ta đã củng cố kiến thức về xét tính đơn điệu của hàm số bằng cách sử dụng đạo hàm. Việc nắm vững phương pháp này sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài tập tương tự một cách hiệu quả và tự tin hơn.
