Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết về các phép biến đổi lượng giác trong chương trình Toán 11 Cánh Diều.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng, các công thức quan trọng và phương pháp áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến biến đổi lượng giác một cách hiệu quả.
I. Công thức cộng
I. Công thức cộng
\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos asinb\\sin\left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos asinb\\\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin asinb\\\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin asinb\\\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\\\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\end{array}\)
II. Công thức nhân đôi
\(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)
Suy ra, công thức hạ bậc:
\({\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2},{\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}\)
III. Công thức biến đổi tích thành tổng
\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\\\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\end{array}\)
IV. Công thức biến đổi tổng thành tích
\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)
Các phép biến đổi lượng giác là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong việc giải các bài toán về hàm số lượng giác, phương trình lượng giác và các bài toán thực tế liên quan đến góc và tam giác.
Trước khi đi vào các phép biến đổi lượng giác, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản sau:
Có một số phép biến đổi lượng giác thường được sử dụng trong giải toán:
Các phép biến đổi lượng giác được ứng dụng rộng rãi trong:
Ví dụ 1: Tính sin(75o)
Ta có: sin(75o) = sin(45o + 30o) = sin(45o)cos(30o) + cos(45o)sin(30o) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2) / 4
Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Lý thuyết các phép biến đổi lượng giác là nền tảng quan trọng để học tốt môn Toán 11. Việc nắm vững các công thức và phương pháp biến đổi sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác. Chúc bạn học tốt!
