Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Việc nắm vững kiến thức về cấp số nhân là vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong việc giải các bài toán liên quan đến dãy số và cấp số.

I. Định nghĩa và các khái niệm cơ bản

Một cấp số nhân là một dãy số (u_n) được xác định bởi:

u₁ (số hạng đầu)
Công bội q (q ≠ 0)
Công thức tổng quát: u_n = u₁ * q^n-1

Ví dụ: Dãy số 2, 6, 18, 54,... là một cấp số nhân với u₁ = 2 và q = 3.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Bài tập về cấp số nhân thường xoay quanh các chủ đề sau:

Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân: Sử dụng công thức u_n = u₁ * q^n-1.
Tìm công bội của cấp số nhân: Sử dụng công thức q = u_n+1 / u_n.
Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:
- Nếu q = 1: S_n = n * u₁
- Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)
Ứng dụng cấp số nhân vào giải quyết các bài toán thực tế: Ví dụ, tính số tiền lãi sau một số kỳ hạn gửi tiết kiệm.

III. Lời giải chi tiết các bài tập trong SGK

Dưới đây là lời giải chi tiết các bài tập trong sách giáo khoa Toán 11 tập 1 - Cánh diều, Bài 3. Cấp số nhân:

Bài 1: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân

Đề bài: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Lời giải: Áp dụng công thức u_n = u₁ * q^n-1, ta có: u_n = 3 * 2^n-1.

Bài 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Đề bài: Cho cấp số nhân có u₁ = 5 và u₅ = 80. Tìm công bội q.

Lời giải: Ta có u₅ = u₁ * q⁴ => 80 = 5 * q⁴ => q⁴ = 16 => q = 2 hoặc q = -2.

Bài 3: Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân

Đề bài: Cho cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 3. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân.

Lời giải: Áp dụng công thức S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), ta có: S₁₀ = 1 * (1 - 3¹⁰) / (1 - 3) = (1 - 59049) / (-2) = 29524.

IV. Mẹo giải bài tập cấp số nhân hiệu quả

Nắm vững định nghĩa và các công thức liên quan đến cấp số nhân.
Phân tích kỹ đề bài để xác định đúng các yếu tố u₁, q, n.
Sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán nhanh chóng và chính xác.
Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.

V. Kết luận

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cần thiết và hữu ích về Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!