Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 3 trang 55, 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 11 tập 1, tập trung vào các kiến thức về phép biến hình.
Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) có số hạng đầu ({u_1}), công bội (q ne 1) Đặt ({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}})
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q \ne 1\)
Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}\)
a) Tính \({S_n}.q\) và \({S_n} - {S_n}.q\)
b) Từ đó, hãy tìm công thức tính \({S_n}\) theo \({u_1}\) và q
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức tính cấp số cộng để tính
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\({S_n}.q = \left( {{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\)
\(\begin{array}{l}{S_n} - {S_n}.q = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right) - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}} - \left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)} \right)\\ = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\end{array}\)
b) Ta có: \({S_n} - {S_n}.q = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 - q} \right) = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{\left( {1 - q} \right)}}\)
Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:
a) 3; – 6; 12; – 24; ... với n = 12.
b) \(\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},...\) với n = 5.
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với \(u_1 = 3\) và công bội q = – 2.
Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:
\(S_{12}=\frac{3(1−(−2)^{12})}{1−(−2)} = -4095 \).
b) Ta có: \(\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},...\) là một cấp số nhân với \(u_1 = \frac{1}{10} \) và công bội \(q=\frac{1}{10}\).
Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:
\(S_5=\frac{\frac{1}{10}(1-(\frac{1}{10})^5)}{1−\frac{1}{10}}= 0,1111\).
Mục 3 của SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều tập trung vào việc nghiên cứu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là các tính chất và ứng dụng của chúng trong hình học. Các bài tập trang 55 và 56 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế, rèn luyện tư duy logic và khả năng phân tích.
Bài 1: (Đề bài cụ thể của bài 1)...
Lời giải:
Để giải bài tập này, chúng ta cần áp dụng kiến thức về phép đối xứng trục. Đầu tiên, xác định trục đối xứng của hình. Sau đó, tìm ảnh của các điểm và đường thẳng qua phép đối xứng trục. Cuối cùng, kết luận về mối quan hệ giữa hình ban đầu và hình ảnh.
Bài 2: (Đề bài cụ thể của bài 2)...
Lời giải:
Bài tập này yêu cầu chúng ta sử dụng phép đối xứng tâm. Xác định tâm đối xứng và tìm ảnh của các điểm qua phép đối xứng tâm. Lưu ý rằng, ảnh của một điểm M qua phép đối xứng tâm O là điểm M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM'.
Bài 3: (Đề bài cụ thể của bài 3)...
Lời giải:
Để giải bài tập này, chúng ta cần kết hợp kiến thức về phép tịnh tiến và phép quay. Xác định vectơ tịnh tiến và tâm quay, góc quay. Sau đó, áp dụng công thức biến đổi tọa độ để tìm ảnh của các điểm.
Bài 4: (Đề bài cụ thể của bài 4)...
Lời giải:
Bài tập này là một bài toán ứng dụng thực tế. Chúng ta cần phân tích đề bài, xác định các yếu tố liên quan đến phép biến hình, và xây dựng mô hình toán học để giải quyết bài toán.
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về phép biến hình trong chương trình Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Chúc các em học tập tốt!
| Phép biến hình | Tính chất chính |
|---|---|
| Phép đối xứng trục | Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. |
| Phép đối xứng tâm | Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. |
| Phép tịnh tiến | Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. |
| Phép quay | Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. |
