Bài 3 trang 99 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh nắm vững các quy tắc tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm của hàm số lượng giác và hàm hợp.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 3 trang 99, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chứng minh các định lí sau:
Đề bài
Chứng minh các định lí sau:
a) Nếu hai mặt phẳng (phân biệt) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó;
b) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt còn lại.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a)
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( R \right)\). Ta cần chứng minh \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\) hoặc \(d \bot \left( R \right)\) với \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).
Vì \(\left( P \right) \bot \left( R \right)\) nên tồn tại đường thẳng \(a \subset \left( P \right)\) sao cho \(a \bot \left( R \right)\), \(\left( Q \right) \bot \left( R \right)\) nên tồn tại đường thẳng \(b \subset \left( Q \right)\) sao cho \(b \bot \left( R \right)\)
\( \Rightarrow a\parallel b\)
Vậy \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\) hoặc nếu \(\left( P \right),\left( Q \right)\) cắt nhau theo giao tuyến \(d\) thì \(d\parallel a \Rightarrow d \bot \left( R \right)\).
b)
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) song song với nhau và đường thẳng \(a\) vuông góc với \(\left( P \right)\). Ta cần chứng minh \(a \bot \left( Q \right)\).
Trên \(\left( P \right)\) lấy hai đường thẳng \(b,c\) cắt nhau, trên \(\left( Q \right)\) lấy hai đường thẳng \(b',c'\) sao cho \(b'\parallel b,c'\parallel c\).
Vì \(b,c\) cắt nhau nên \(b',c'\) cắt nhau.
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a \bot \left( P \right) \Rightarrow a \bot b,a \bot c\\b\parallel b',c\parallel c'\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b',a \bot c'\\ \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\end{array}\)
Bài 3 trang 99 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều yêu cầu giải các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số lượng giác và hàm hợp. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và kỹ năng biến đổi đại số.
Để tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x). Trong trường hợp này, u(t) = sin(t) và v(x) = 2x + 1.
Ta có: u'(t) = cos(t) và v'(x) = 2. Do đó, y' = cos(2x + 1) * 2 = 2cos(2x + 1).
Tương tự như phần a, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Trong trường hợp này, u(t) = cos(t) và v(x) = x^2.
Ta có: u'(t) = -sin(t) và v'(x) = 2x. Do đó, y' = -sin(x^2) * 2x = -2xsin(x^2).
Để tính đạo hàm của hàm số y = tan(3x - 2), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm tan. Ta biết rằng (tan(x))' = 1/cos^2(x).
Trong trường hợp này, u(t) = tan(t) và v(x) = 3x - 2. Ta có: u'(t) = 1/cos^2(t) và v'(x) = 3. Do đó, y' = (1/cos^2(3x - 2)) * 3 = 3/(cos^2(3x - 2)).
Để tính đạo hàm của hàm số y = cot(x + 1), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm cot. Ta biết rằng (cot(x))' = -1/sin^2(x).
Trong trường hợp này, u(t) = cot(t) và v(x) = x + 1. Ta có: u'(t) = -1/sin^2(t) và v'(x) = 1. Do đó, y' = (-1/sin^2(x + 1)) * 1 = -1/sin^2(x + 1).
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Bài 3 trang 99 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm của hàm số lượng giác và hàm hợp. Việc nắm vững các công thức đạo hàm và kỹ năng biến đổi đại số là rất quan trọng để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, bạn sẽ tự tin hơn khi làm bài tập về đạo hàm.
