Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Khoảng cách trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về cách tính khoảng cách trong không gian, một chủ đề then chốt trong hình học giải tích.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu các công thức, phương pháp và ứng dụng thực tế của lý thuyết này, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng \(\Delta \) và điểm \(M\) không thuộc \(\Delta \).
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng \(\Delta \) và điểm \(M\) không thuộc \(\Delta \). Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(M\) trên đường thẳng \(\Delta \). Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu \(d(M,\Delta )\).
Chú ý: Khi điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) thì \(d(M,\Delta ) = 0.\)
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho mặt phẳng \((P)\) và điểm \(M\) không thuộc mặt phẳng \((P)\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên mặt phẳng \((P)\). Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((P)\), kí hiệu \(d(M,(P))\).
Chú ý: Khi điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((P)\) thì \(d(M,(P)) = 0.\)
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(\Delta ,\Delta '\) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu \(d\left( {\Delta ,{\Delta ^\prime }} \right)\).
Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: \(d\left( {\Delta ,{\Delta ^\prime }} \right) = AB\) với \(A \in \Delta \), \(B \in {\Delta ^\prime },AB \bot \Delta ,AB \bot {\Delta ^\prime }\) và \(\Delta //{\Delta ^\prime }\).
4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \((P)\). Khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta \) đến mặt phẳng \((P)\), kí hiệu \(d(\Delta ,(P))\).
Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: \(d(\Delta ,(P)) = M{M^\prime } = h\), trong đó \(M \in \Delta ,{M^\prime } \in (P),M{M^\prime } \bot (P)\) và \(\Delta //(P)\).
5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \((P),(Q)\) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu \(d((P),(Q))\).
Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: \(d((P),(Q)) = IK = h\) với \(I \in (P),K \in (Q),IK \bot (P),IK \bot (Q)\) và \((P)//(Q)\).
6. Khoảng cách giữa hai đưò̀ng thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.
- Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
- Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng c với hai đường thẳng a, b được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
- Độ dài đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng a, b gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí hiệu \(d(a,b)\).
Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: \(d(a,b) = HK\) với HK là đoạn vuông góc chung của \(a\) và \(b\).
Trong chương trình Toán 11, đặc biệt là sách Cánh diều, phần Lý thuyết Khoảng cách đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức hình học giải tích nâng cao. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về các khái niệm, công thức và phương pháp tính khoảng cách, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.
Khoảng cách là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm. Trong không gian hai chiều (mặt phẳng), khoảng cách giữa hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) được tính theo công thức:
d(A, B) = √((xB - xA)2 + (yB - yA)2)
Trong không gian ba chiều, khoảng cách giữa hai điểm A(xA, yA, zA) và B(xB, yB, zB) được tính theo công thức:
d(A, B) = √((xB - xA)2 + (yB - yA)2 + (zB - zA)2)
Cho điểm M(x0, y0) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0. Khoảng cách d từ điểm M đến đường thẳng Δ được tính theo công thức:
d(M, Δ) = |ax0 + by0 + c| / √(a2 + b2)
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm M(1, 2) đến đường thẳng Δ: 3x - 4y + 5 = 0.
d(M, Δ) = |3(1) - 4(2) + 5| / √(32 + (-4)2) = |3 - 8 + 5| / √(9 + 16) = 0 / 5 = 0
Trong trường hợp này, điểm M nằm trên đường thẳng Δ.
Cho hai đường thẳng song song Δ1: ax + by + c1 = 0 và Δ2: ax + by + c2 = 0. Khoảng cách d giữa hai đường thẳng này được tính theo công thức:
d(Δ1, Δ2) = |c2 - c1| / √(a2 + b2)
Ví dụ: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ1: 2x + y - 3 = 0 và Δ2: 2x + y - 5 = 0.
d(Δ1, Δ2) = |(-5) - (-3)| / √(22 + 12) = |-2| / √5 = 2 / √5 = (2√5) / 5
Lý thuyết Khoảng cách có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Khi giải bài tập về khoảng cách, cần lưu ý:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Khoảng cách - Toán 11 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
