Bài 3. Đạo hàm cấp hai

Bài 3. Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một. Nó cho phép chúng ta nghiên cứu sự thay đổi của tốc độ thay đổi của một hàm số. Trong chương trình Toán 11, việc hiểu rõ về đạo hàm cấp hai là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, điểm uốn và các ứng dụng khác.

1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại một điểm x₀, tức là f'(x₀) tồn tại, và đạo hàm f'(x) có đạo hàm tại x₀, thì đạo hàm của f'(x) tại x₀ được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) tại x₀, ký hiệu là f''(x₀).

Công thức tổng quát: f''(x) = (f'(x))'

2. Kỹ thuật tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện tuần tự các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một f'(x).
Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Ví dụ:

Cho hàm số y = x³ + 2x² - x + 1. Hãy tính đạo hàm cấp hai của hàm số.

f'(x) = 3x² + 4x - 1
f''(x) = 6x + 4

3. Ứng dụng của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Xác định tính lồi, lõm của hàm số: Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, hàm số lồi trên khoảng đó. Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, hàm số lõm trên khoảng đó.
Tìm điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà tại đó hàm số đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại. Để tìm điểm uốn, ta giải phương trình f''(x) = 0 và kiểm tra sự thay đổi dấu của f''(x).
Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số: Đạo hàm cấp hai giúp ta hiểu rõ hơn về hình dạng đồ thị của hàm số.

4. Bài tập vận dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về đạo hàm cấp hai:

Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x).
Bài 2: Tìm điểm uốn của hàm số y = x⁴ - 2x² + 1.
Bài 3: Xác định khoảng lồi, lõm của hàm số y = x³ - 3x² + 2.

5. Lưu ý khi tính đạo hàm cấp hai

Khi tính đạo hàm cấp hai, cần lưu ý:

Đảm bảo hàm số có đạo hàm cấp một trước khi tính đạo hàm cấp hai.
Sử dụng đúng các quy tắc tính đạo hàm (quy tắc tích, quy tắc thương, quy tắc chuỗi).
Kiểm tra lại kết quả để tránh sai sót.

Kết luận

Bài 3. Đạo hàm cấp hai là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm cấp hai sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn và hiểu sâu hơn về các khái niệm toán học khác. Chúc bạn học tập tốt!