Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Cánh diều

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Cánh diều

Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một của một hàm số. Nó cung cấp thông tin về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số, và có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học, vật lý và các lĩnh vực khác.

1. Định nghĩa Đạo hàm cấp hai

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x), là đạo hàm của f'(x). Tức là:

f''(x) = (f'(x))'

Nếu f''(x) tồn tại tại một điểm x₀, ta nói hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai tại x₀.

2. Cách tính Đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp một f'(x).
2. Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Ví dụ: Cho hàm số y = x³ + 2x² - 5x + 1. Hãy tính đạo hàm cấp hai của hàm số.

• f'(x) = 3x² + 4x - 5
• f''(x) = 6x + 4

3. Ý nghĩa hình học của Đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai liên quan đến độ cong của đồ thị hàm số. Cụ thể:

• Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
• Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
• Nếu f''(x) = 0 tại một điểm, điểm đó có thể là điểm uốn của đồ thị hàm số.

4. Ý nghĩa vật lý của Đạo hàm cấp hai

Trong vật lý, đạo hàm cấp hai thường liên quan đến gia tốc. Ví dụ, nếu s(t) là hàm vị trí của một vật thể theo thời gian t, thì:

• v(t) = s'(t) là vận tốc của vật thể.
• a(t) = v'(t) = s''(t) là gia tốc của vật thể.

5. Các bài tập vận dụng

Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x).

Giải:

• y' = 2cos(2x)
• y'' = -4sin(2x)

Bài 2: Tìm khoảng mà đồ thị hàm số y = x⁴ - 6x² + 8 lồi và lõm.

Giải:

• y' = 4x³ - 12x
• y'' = 12x² - 12 = 12(x² - 1)

y'' > 0 khi x < -1 hoặc x > 1, đồ thị hàm số lồi trên các khoảng (-∞, -1) và (1, +∞).

y'' < 0 khi -1 < x < 1, đồ thị hàm số lõm trên khoảng (-1, 1).

6. Ứng dụng của Đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng trong việc:

• Xác định tính lồi lõm của hàm số.
• Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số.
• Giải các bài toán tối ưu hóa.
• Mô tả chuyển động của vật thể trong vật lý.

7. Lưu ý quan trọng

Khi tính đạo hàm cấp hai, cần đảm bảo rằng đạo hàm cấp một tồn tại và khả vi. Ngoài ra, cần chú ý đến các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số đặc biệt như hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Đạo hàm cấp hai trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!