Bài 3 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và khả năng áp dụng chúng vào các hàm số phức tạp hơn.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn hiểu rõ bản chất của bài toán và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang
Đề bài
Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc lớn nhất là 100%, tương ứng với góc \({90^ \circ }\) (độ dốc 10% tương ứng với góc \({9^ \circ }\)). Giả sử có hai điểm \(A,B\) nằm ở độ cao lần lượt là 200 m, 220 m so với mực nước biển và đoạn dốc \(AB\) dài 120 m. Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
Mô hình hoá như hình vẽ, với \(AB\) là chiều dài con dốc, \(AH\) là độ cao của điểm \(A\) so với mặt nước biển, \(BK\) là độ cao của điểm \(B\) so với mặt nước biển, \(BI\) là chiều cao của con dốc, độ lớn của góc \(\widehat {BAI}\) chỉ độ dốc.
Ta có: \(AH = 200,BK = 220,AB = 120\).
\(AHKB\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow IK = AH = 200 \Rightarrow BI = BK - IK = 220 - 200 = 20\)
Vì tam giác \(ABI\) vuông tại \(I\) nên ta có:
\(\sin \widehat {ABI} = \frac{{BI}}{{AB}} = \frac{{20}}{{120}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \widehat {ABI} \approx 9,{59^ \circ }\) tương ứng với 10,66%
Vậy độ dốc của con dốc đó là 10,66%.
Bài 3 yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 2 và thực hiện các yêu cầu sau:
1. Xác định khoảng đơn điệu của hàm số:
Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số f(x):
f'(x) = 3x2 - 12x + 9
Để xác định khoảng đơn điệu, ta tìm các điểm mà f'(x) = 0:
3x2 - 12x + 9 = 0
⇔ x2 - 4x + 3 = 0
⇔ (x - 1)(x - 3) = 0
Vậy, x = 1 và x = 3 là các điểm cực trị của hàm số.
Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:
Kết luận:
2. Tìm cực trị của hàm số:
Vì f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x = 1, hàm số đạt cực đại tại x = 1. Giá trị cực đại là:
f(1) = 13 - 6(1)2 + 9(1) - 2 = 1 - 6 + 9 - 2 = 2
Vì f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x = 3, hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. Giá trị cực tiểu là:
f(3) = 33 - 6(3)2 + 9(3) - 2 = 27 - 54 + 27 - 2 = -2
Kết luận:
Khi giải các bài toán về đạo hàm, việc xác định đúng dấu của đạo hàm trên các khoảng là rất quan trọng. Điều này giúp chúng ta xác định chính xác khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số.
Ngoài ra, cần kiểm tra kỹ các bước tính toán để tránh sai sót. Việc sử dụng các công cụ hỗ trợ tính toán như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm toán học có thể giúp chúng ta kiểm tra lại kết quả và đảm bảo tính chính xác.
Bài tập này là một ví dụ điển hình về việc ứng dụng đạo hàm để phân tích sự biến thiên của hàm số. Việc nắm vững các kiến thức về đạo hàm và khả năng áp dụng chúng vào các bài toán thực tế là rất quan trọng trong quá trình học tập môn Toán.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 3 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
