Cấp số nhân là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 11, đặc biệt trong sách giáo khoa Cánh Diều. Việc nắm vững lý thuyết và các công thức liên quan là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ và chi tiết về lý thuyết Cấp số nhân, giúp bạn hiểu rõ bản chất và ứng dụng của kiến thức này.
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q. Tức là:
\({u_n} = {u_{n - 1}}.q,n \in {\mathbb{N}^*}\)
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
* Chú ý: Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\left( {k \ge 2} \right)\).
2. Số hạng tổng quát
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định bởi công thức
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)
3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi gọi là công bội. Dãy số (un) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho un+1 = q.un với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Để hiểu rõ về cấp số nhân, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:
Có một số dạng cấp số nhân đặc biệt cần lưu ý:
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Sn) được tính theo công thức:
Sn = u1.(1 - qn) / (1 - q) (với q ≠ 1)
Nếu q = 1, thì Sn = n.u1
Để hiểu rõ hơn về lý thuyết cấp số nhân, chúng ta hãy xem xét một số bài tập minh họa:
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3. Tính số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.
Giải:
Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân biết u1 = 5 và u3 = 45.
Giải:
Ta có u3 = u1.q2 => 45 = 5.q2 => q2 = 9 => q = ±3
Nếu q = 3, thì u10 = u1.q9 = 5.39 = 98415
Nếu q = -3, thì u10 = u1.q9 = 5.(-3)9 = -98415
Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để nắm vững lý thuyết cấp số nhân, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
