Chương 3 Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Cánh Diều

Chương 3 trong sách Toán 11 Cánh Diều tập trung vào hai khái niệm cốt lõi: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Đây là nền tảng quan trọng cho việc học tập các khái niệm giải tích trong các lớp học cao hơn.

I. Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số tại một điểm là giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số độc lập tiến tới điểm đó. Việc hiểu rõ khái niệm giới hạn là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan đến sự thay đổi của hàm số.

Định nghĩa giới hạn: Nếu với mọi ε > 0, tồn tại một δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε, ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến tới a bằng L, ký hiệu là lim_x→a f(x) = L.
Các dạng giới hạn vô cùng: Hàm số có thể tiến tới vô cùng dương hoặc vô cùng âm khi x tiến tới một giá trị nhất định.
Tính chất của giới hạn: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số được tính bằng cách áp dụng các tính chất tương ứng.

II. Hàm số liên tục

Hàm số được gọi là liên tục tại một điểm nếu giới hạn của hàm số tại điểm đó bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Tính liên tục là một tính chất quan trọng của hàm số, đảm bảo rằng đồ thị của hàm số không bị đứt gãy.

Định nghĩa hàm số liên tục: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu lim_x→x₀ f(x) = f(x₀).
Các điều kiện để hàm số liên tục: Hàm số phải xác định tại điểm đó, có giới hạn tại điểm đó và giới hạn phải bằng giá trị của hàm số tại điểm đó.
Hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4.

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1.

Giải: Ta có lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1 và lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1. Hơn nữa, f(1) = 1² = 1. Vì lim_x→1 f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

IV. Ứng dụng của giới hạn và tính liên tục

Khái niệm giới hạn và tính liên tục có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

Tính đạo hàm: Giới hạn được sử dụng để định nghĩa đạo hàm của hàm số.
Tính tích phân: Giới hạn cũng được sử dụng để định nghĩa tích phân của hàm số.
Giải các bài toán vật lý: Giới hạn và tính liên tục được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý như vận tốc, gia tốc và lực.

Hy vọng rằng những kiến thức này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục trong sách Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!