Bài 6 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Giải tích của môn Toán lớp 11, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, từ đó hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 6 trang 80, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Từ độ cao \(55,8\;{\rm{m}}\) của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18).
Đề bài
Từ độ cao \(55,8\;{\rm{m}}\) của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi \({S_n}\) là tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất \(n\) lần. Tính \(\lim {S_n}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi (un) là dãy số thể hiện quãng đường di chuyển của quả bóng sau mỗi lần chạm đất.
Ta có: \({u_1} = 55,8;{u_2} = \frac{1}{{10}}.{u_1};{u_3} = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^2}.{u_1};...;{u_n} = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}.{u_1}.\)
Khi đó dãy (un) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 55,8 và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\) thỏa mãn \(\left| q \right| < 1.\)
\( \Rightarrow {S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{55,8}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 62\left( m \right)\)
Vậy tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần là 62 m.
Bài 6 yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
Đạo hàm của f(x) là: f'(x) = 6x2 - 6x = 6x(x - 1)
f'(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 1
Xét dấu f'(x):
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên (-∞, 0) và (1, +∞), nghịch biến trên (0, 1).
Đạo hàm của f(x) là: f'(x) = 4x3 - 12x2 + 8x = 4x(x2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)
f'(x) = 0 khi x = 0, x = 1 hoặc x = 2
Xét dấu f'(x):
Vậy hàm số f(x) nghịch biến trên (-∞, 0) và (1, 2), đồng biến trên (0, 1) và (2, +∞).
Đạo hàm của f(x) là: f'(x) = -3x2 + 6x = -3x(x - 2)
f'(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu f'(x):
Vậy hàm số f(x) nghịch biến trên (-∞, 0) và (2, +∞), đồng biến trên (0, 2).
Việc xét dấu đạo hàm là bước quan trọng để xác định tính đơn điệu của hàm số. Cần chú ý đến các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, vì đây là các điểm có thể làm thay đổi chiều biến thiên của hàm số.
Ngoài ra, việc vẽ đồ thị hàm số cũng có thể giúp kiểm tra lại kết quả xét tính đơn điệu.
Để củng cố kiến thức về xét tính đơn điệu của hàm số, bạn có thể làm thêm các bài tập sau:
Chúc bạn học tốt!
