Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 4 trang 19, 20 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập toán học.
Bài tập trong mục này tập trung vào các kiến thức về phép biến hóa affine, bao gồm các dạng bài tập về tìm ảnh của điểm, đường thẳng qua phép biến hóa affine, và xác định phép biến hóa affine.
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt (a + b = u;,,a - b = v) biến đổi các biểu thức sau thành tích: (cos u + cos v;,,cos u - cos v;,,sin u + sin v;,,sin u - sin v)
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt \(a + b = u;\,\,a - b = v\) biến đổi các biểu thức sau thành tích: \(\cos u + \cos v;\,\,\cos u - \cos v;\,\,\sin u + \sin v;\,\,\sin u - \sin v\)
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức biến tích thành tổng để biến đổi:
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}1.\,\,\,\,\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right] \Leftrightarrow 2\cos a.\cos b = \cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)\\ \Leftrightarrow 2\cos \frac{{u + v}}{2}.\cos \frac{{u - v}}{2} = \cos u + \cos v\\2.\,\,\,\,\sin a.\sin b = - \frac{1}{2}.\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right] \Leftrightarrow - 2.\sin a.\sin b = \cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)\\ \Leftrightarrow - 2.\sin \frac{{u + v}}{2}.\sin \frac{{u - v}}{2} = \cos u - \cos v\\3.\,\,\,\,\sin a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right] \Leftrightarrow 2\sin a.\cos b = \sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sin \frac{{u + v}}{2}.\cos \frac{{u - v}}{2} = \sin u + \sin v\\4.\,\,\,\,\sin \left( {a + b} \right) - \sin \left( {a - b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b - \sin a.\cos b + \cos a.\sin b = 2\cos a.\sin b\\ \Leftrightarrow \sin u - \sin v = 2.\cos \frac{{u + v}}{2}.\sin \frac{{u - v}}{2}\end{array}\)
Tính \(D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{\cos \frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9}}}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{\cos \frac{{7\pi }}{9} - \cos \frac{\pi }{9}}} = \frac{{2.\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}} \right).\cos \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} - \frac{\pi }{9}}}{2}} \right)}}{{ - 2.\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} - \frac{\pi }{9}}}{2}} \right)}} = -\cot \frac{\pi }{3} = -\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Mục 4 của chương trình Toán 11 tập 1 - Cánh Diều tập trung vào việc nghiên cứu về phép biến hóa affine. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học, mở rộng phạm vi nghiên cứu từ các phép biến hình đơn giản như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng đến các phép biến hình phức tạp hơn. Việc nắm vững kiến thức về phép biến hóa affine giúp học sinh hiểu sâu hơn về cấu trúc và tính chất của các đối tượng hình học.
Phép biến hóa affine là một phép biến hình bảo toàn tính thẳng hàng và tỉ số giữa các đoạn thẳng. Nói cách khác, nếu một đường thẳng đi qua hai điểm A và B, thì ảnh của đường thẳng đó qua phép biến hóa affine cũng đi qua ảnh của A và B. Tỉ số giữa độ dài của hai đoạn thẳng trên đường thẳng ban đầu bằng tỉ số giữa độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng trên ảnh của đường thẳng đó.
Bài 1: Cho điểm A(1; 2) và phép biến hóa affine f(x; y) = (2x + y; x - y). Tìm ảnh A' của điểm A qua phép biến hóa f.
Giải:
Áp dụng công thức biến đổi tọa độ, ta có:
x' = 2x + y = 2(1) + 2 = 4
y' = x - y = 1 - 2 = -1
Vậy, A'(4; -1).
Bài 2: Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0 và phép biến hóa affine f(x; y) = (x + 2y; 3x - y). Tìm phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép biến hóa f.
Giải:
Lấy hai điểm M(0; 1) và N(1; 0) thuộc đường thẳng d. Tìm ảnh M' và N' của M và N qua phép biến hóa f.
M'(2; 3)
N'(4; 2)
Phương trình đường thẳng d' đi qua M' và N' là:
(y - 3) / (x - 2) = (2 - 3) / (4 - 2) = -1/2
2(y - 3) = -(x - 2)
2y - 6 = -x + 2
x + 2y - 8 = 0
Vậy, phương trình đường thẳng d' là x + 2y - 8 = 0.
Để nắm vững kiến thức về phép biến hóa affine, học sinh nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập luyện tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập về phép biến hóa affine trong chương trình Toán 11 tập 1 - Cánh Diều.
