Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 1 của giaibaitoan.com. Ở đây, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả cao trong môn Toán.
Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (left( {{u_n}} right),) với ({u_n} = frac{1}{n}) trên hệ trục tọa độ.
Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_n} = \frac{1}{n}\) trên hệ trục tọa độ.
a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị \({u_n}\) khi n ngày càng lớn.
b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:
Kể từ số hạng \({u_n}\) nào của dãy số thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?
Phương pháp giải:
Quan sát hình 2 và rút ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
a) Khi n ngày càng lớn thì các giá trị \({u_n}\) ngày càng giảm tiến dần về gần trục Ox.
b)
Kể từ số hạng \({u_{1001}}\) trở đi thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,001
Kể từ số hạng \({u_{10001}}\) trở đi thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,0001
Chứng minh rằng:
a) \(\lim 0 = 0;\)
b) \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0.\) \(\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn 0.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(\left| {{u_n}} \right| = \left| 0 \right| = 0 < 1\) nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có \(\lim 0 = 0;\)
b) Vì \(0 < \left| {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right| < 1\) nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0.\)
Chứng minh rằng \(\lim \frac{{ - 4n + 1}}{n} = - 4.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\)khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(\lim \left( {\frac{{ - 4n + 1}}{n} + 4} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0\) nên \(\lim \frac{{ - 4n + 1}}{n} = - 4.\)
Chứng minh rằng \(\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0.\)
Phương pháp giải:
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dư mơng bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.
Lời giải chi tiết:
Vì \(\left| {\frac{e}{\pi }} \right| < 1\) nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có \(\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0.\)
Mục 1 của chương trình Toán 11 tập 1 - Cánh Diều tập trung vào các kiến thức cơ bản về giới hạn của hàm số. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh hiểu rõ hơn về đạo hàm và tích phân trong các chương tiếp theo. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng giải bài tập trong mục này là rất cần thiết để đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Bài tập trang 59 tập trung vào việc hiểu khái niệm giới hạn của hàm số khi x tiến tới một giá trị cụ thể. Các bài tập thường yêu cầu học sinh tính giới hạn bằng cách sử dụng định nghĩa hoặc các tính chất của giới hạn. Ví dụ, tính lim (x->2) (x^2 - 4) / (x - 2). Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành (x-2)(x+2), sau đó rút gọn với mẫu số để được lim (x->2) (x+2) = 4.
Trang 60 giới thiệu về giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cực hoặc âm vô cực. Các bài tập thường yêu cầu học sinh xác định giới hạn của các hàm số đa thức, phân thức và hàm số có chứa căn thức. Ví dụ, tính lim (x->+∞) (2x^2 + 1) / (x^2 + 3). Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho x^2, ta được lim (x->+∞) (2 + 1/x^2) / (1 + 3/x^2) = 2.
Bài 3 trình bày các dạng giới hạn đặc biệt như lim (sin x / x) khi x->0 và lim (1 - cos x) / x^2 khi x->0. Học sinh cần nắm vững các công thức giới hạn này để giải các bài tập phức tạp hơn. Ví dụ, sử dụng công thức lim (sin x / x) = 1 để tính giới hạn của các hàm số lượng giác.
Trang 62 hướng dẫn học sinh sử dụng giới hạn để xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x = a nếu lim (x->a) f(x) = f(a). Các bài tập thường yêu cầu học sinh kiểm tra xem một hàm số có liên tục tại một điểm hay không.
Việc giải bài tập mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm và kỹ năng cơ bản về giới hạn. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập được trình bày ở trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
