Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm - SGK Toán 11 - Cánh diều

I. Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0 (nếu giới hạn này tồn tại).

Công thức: f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

II. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm f'(x₀) của hàm số f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x². Ta sẽ tính đạo hàm của f(x) tại điểm x = 2.

1. Tính f(2) = 2² = 4
2. Tính f(2 + Δx) = (2 + Δx)² = 4 + 4Δx + (Δx)²
3. Tính f(2 + Δx) - f(2) = 4 + 4Δx + (Δx)² - 4 = 4Δx + (Δx)²
4. Tính [f(2 + Δx) - f(2)] / Δx = (4Δx + (Δx)²) / Δx = 4 + Δx
5. Tính lim_Δx→0 (4 + Δx) = 4

Vậy, f'(2) = 4. Điều này có nghĩa là tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x² tại điểm có hoành độ x = 2 có hệ số góc là 4.

IV. Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x + 2 tại điểm x = 1.

Bài 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x³ tại điểm có hoành độ x = -1.

V. Lưu ý quan trọng

• Đạo hàm chỉ tồn tại khi giới hạn trong định nghĩa đạo hàm tồn tại.
• Ý nghĩa hình học của đạo hàm giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số.
• Đạo hàm là một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học kỹ thuật.

VI. Mở rộng kiến thức

Để hiểu sâu hơn về đạo hàm, các em có thể tìm hiểu thêm về các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit, và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải các bài toán tối ưu hóa.

VII. Kết luận

Bài học hôm nay đã giới thiệu cho các em về định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm. Hy vọng rằng các em đã nắm vững kiến thức cơ bản này và có thể áp dụng nó vào việc giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tốt!