Bài 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và kỹ năng giải phương trình, bất phương trình.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vô tuyến là (C(Q) = {Q^2} + 80Q + 3500)
Đề bài
Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vô tuyến là \(C(Q) = {Q^2} + 80Q + 3500\).
a) Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ Q sản phẩm lên Q + 1 sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số C’(Q). Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm C’(90) và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được.
c) Hãy tính chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ 100.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa: \(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Lời giải chi tiết
a) Hàm chi phí biên là:
\(C'(Q) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \frac{{\Delta C}}{{\Delta Q}} = \frac{{C(Q + \Delta Q) - C(Q)}}{{\Delta Q}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \frac{{{{\left( {Q + \Delta Q} \right)}^2} + 80\left( {Q + \Delta Q} \right) + 3500 - \left( {{Q^2} + 80Q + 3500} \right)}}{{\Delta Q}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \frac{{{Q^2} + 2Q.\Delta Q + \Delta {Q^2} + 80Q + 80\Delta Q + 3500 - {Q^2} - 80Q - 3500}}{{\Delta Q}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \frac{{2Q.\Delta Q + \Delta {Q^2} + 80\Delta Q}}{{\Delta Q}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \frac{{\Delta Q\left( {2Q + \Delta Q + 80} \right)}}{{\Delta Q}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \left( {2Q + \Delta Q + 80} \right) = 2Q + 0 + 80 = 2Q + 80\).
b) C'(90) = 2.90 + 80 = 260 (USD).
Ý nghĩa kết quả tìm được: Chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 89 sản phẩm lên 90 sản phẩm là 260 (USD).
c) Chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ 100 là: \(C(100) = {100^2} + 80.100 + 3500 = 143000\) (USD).
Bài 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và công thức đạo hàm cơ bản, cũng như kỹ năng giải phương trình và bất phương trình.
Bài 4 yêu cầu học sinh giải các bài toán liên quan đến việc tìm đạo hàm của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số và tìm cực trị của hàm số. Cụ thể, bài tập có thể yêu cầu:
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm. Cụ thể:
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 4(x-1)^3
Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1, +∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞, 1).
h'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x-1)(x-3)
h'(x) = 0 khi x = 0, x = 1, x = 3.
Xét dấu h'(x) để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.
| x | -∞ | 0 | 1 | 3 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| h'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| h(x) | Đồng biến | Cực đại | Nghịch biến | Cực tiểu | Đồng biến |
Hàm số h(x) đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 3.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các bạn học sinh có thể giải bài 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các bạn học tốt!
