Bài 5 trang 20 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Bài 5 trang 20 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều yêu cầu học sinh tính giới hạn của hàm số tại một điểm. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về giới hạn, bao gồm định nghĩa, các tính chất và các phương pháp tính giới hạn.

Nội dung bài toán

Bài toán cụ thể yêu cầu tính các giới hạn sau (ví dụ):

• lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
• lim (x→0) (sin x) / x
• lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3)

Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

1. Phân tích thành nhân tử: Đối với giới hạn có dạng phân số, ta có thể phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức.
2. Sử dụng các giới hạn đặc biệt: lim (sin x) / x = 1 khi x→0.
3. Chia cả tử và mẫu cho x: Đối với giới hạn tại vô cùng, ta có thể chia cả tử và mẫu cho x để đơn giản hóa biểu thức.
4. Áp dụng quy tắc L'Hôpital: Nếu giới hạn có dạng 0/0 hoặc ∞/∞, ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn.

Giải chi tiết Bài 5 trang 20 (Ví dụ 1: lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2))

Ta có:

lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4

Giải chi tiết Bài 5 trang 20 (Ví dụ 2: lim (x→0) (sin x) / x)

Đây là một giới hạn đặc biệt, ta có:

lim (x→0) (sin x) / x = 1

Giải chi tiết Bài 5 trang 20 (Ví dụ 3: lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3))

Ta có:

lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3) = lim (x→∞) (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2

Lưu ý quan trọng

Khi tính giới hạn, cần chú ý đến các trường hợp sau:

• Giới hạn tại một điểm: Thay trực tiếp giá trị của điểm vào hàm số. Nếu kết quả là một số xác định, đó là giới hạn của hàm số tại điểm đó.
• Giới hạn tại vô cùng: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.
• Các giới hạn đặc biệt: Nắm vững các giới hạn đặc biệt để áp dụng một cách nhanh chóng và chính xác.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:

• lim (x→3) (x^2 - 9) / (x - 3)
• lim (x→0) (tan x) / x
• lim (x→∞) (3x^2 + 2x - 1) / (x^2 + 1)

Kết luận

Bài 5 trang 20 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính giới hạn của hàm số. Việc nắm vững các khái niệm cơ bản và các phương pháp giải quyết bài toán sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.